Calcule a integral tripla. integral triplaG x y z d V, onde G é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico z=2-x^2 e os planos z=0, y=x y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral tripla integral triplaG x y z , dV. O enunciado pede para calcular essa integral no sólido G, que está no primeiro octante (ou seja, onde x, y e z são positivos) e é limitado pelo cilindro parabólico z = 2 - x^2 e pelos planos z = 0, y = x e y = 0. Vamos usar cálculo integral multivariado, especificamente integrais triplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração para x, y e z. Como estamos no primeiro octante, x, y e z vão de 0 a algum valor máximo definido pelas superfícies que limitam o sólido.

Passo 3

Vamos determinar os limites para x. A equação do cilindro parabólico é z = 2 - x^2. No plano z = 0, temos 2 - x^2 = 0, o que dá x = raiz2. Então, x varia de 0 a raiz2.

Passo 4

Para cada valor de x, y varia de 0 a x, já que temos os planos y = 0 e y = x.

Passo 5

Para cada par (x, y), z varia de 0 até 2 - x^2, conforme a equação do cilindro parabólico.

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites definidos:
integral0^raiz2 integral0^x integral0^2 - x^2 x y z , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos integrar em relação a z primeiro:
integral0^2 - x^2 x y z , dz = x y [ z^22 ]0^2 - x^2 = x y cdot (2 - x^2)^22

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral0^raiz2 integral0^x x y (2 - x^2)^22 , dy , dx

Passo 9

Integramos em relação a y:
integral0^x x (2 - x^2)^22 y , dy = x (2 - x^2)^22 [ y^22 ]0^x = x (2 - x^2)^22 cdot x^22 = x^3 (2 - x^2)^24

Passo 10

Agora, a integral fica:
integral0^raiz2 x^3 (2 - x^2)^24 , dx

Passo 11

Vamos expandir (2 - x^2)^2:
(2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4

Passo 12

Substituindo na integral:
14 integral0^raiz2 x^3 (4 - 4x^2 + x^4) , dx = 14 integral0^raiz2 (4x^3 - 4x^5 + x^7) , dx

Passo 13

Integrando termo a termo:
14 [ 4x^44 - 4x^66 + x^88 ]0^raiz2 = 14 [ x^4 - 23x^6 + x^88 ]0^raiz2

Passo 14

Calculando em x = raiz2:
x^4 = (raiz2)^4 = 4 x^6 = (raiz2)^6 = 8 x^8 = (raiz2)^8 = 16

Passo 15

Substituindo os valores:
14 [ 4 - 23 cdot 8 + 168 ] = 14 [ 4 - 163 + 2 ] = 14 [ 6 - 163 ] = 14 cdot ( 18 - 163 ) = 14 cdot 23 = 212 = 16

Resposta

O valor da integral tripla é 16.

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