Calcule a integral tripla.
, onde
é o sólido do primeiro octante limitado pelo cilindro parabólico
os planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral tripla
. O enunciado pede para calcular essa integral no sólido
, que está no primeiro octante (ou seja, onde
,
e
são positivos) e é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
. Vamos usar cálculo integral multivariado, especificamente integrais triplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração para
,
e
. Como estamos no primeiro octante,
,
e
vão de
a algum valor máximo definido pelas superfícies que limitam o sólido.
Passo 3
Vamos determinar os limites para
. A equação do cilindro parabólico é
. No plano
, temos
, o que dá
. Então,
varia de
a
.
Passo 4
Para cada valor de
,
varia de
a
, já que temos os planos
e
.
Passo 5
Para cada par
,
varia de
até
, conforme a equação do cilindro parabólico.
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral tripla com os limites definidos:
Passo 7
Vamos integrar em relação a
primeiro:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Passo 9
Integramos em relação a
:
Passo 10
Agora, a integral fica:
Passo 11
Vamos expandir
:
Passo 12
Substituindo na integral:
Passo 13
Integrando termo a termo:
Passo 14
Calculando em
:
Passo 15
Substituindo os valores:
Resposta
O valor da integral tripla é
.