Encontre o campo gradiente das seguintes funções escalar.
f(x, y, z) = x * e^(-x * y) + y * z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão pede para encontrar o campo gradiente da função escalar . O campo gradiente é uma ferramenta que nos dá a direção de maior crescimento dessa função em cada ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é como ver como a função muda quando a gente varia enquanto mantém e constantes.
A segunda parte, , não depende de , então sua derivada em relação a é zero. Agora, para , usamos a regra do produto:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que mostra como a função muda quando a gente varia mantendo e constantes.
Aqui, queremos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte, :
Então, juntando tudo:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que indica como a função muda quando variamos mantendo e constantes.
Aqui, não depende de , então sua derivada é zero. Para :
Então:

Resposta

O campo gradiente da função é dado por:

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