Encontre o campo gradiente das seguintes funções escalar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão pede para encontrar o campo gradiente da função escalar
. O campo gradiente é uma ferramenta que nos dá a direção de maior crescimento dessa função em cada ponto. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é como ver como a função muda quando a gente varia
enquanto mantém
e
constantes.
A segunda parte,
, não depende de
, então sua derivada em relação a
é zero. Agora, para
, usamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que mostra como a função muda quando a gente varia
mantendo
e
constantes.
Aqui, queremos derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia:
Para a segunda parte,
:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que indica como a função muda quando variamos
mantendo
e
constantes.
Aqui,
não depende de
, então sua derivada é zero. Para
:
Então:
Resposta
O campo gradiente da função
é dado por: