Seja
um campo vetorial.
Encontre a curva do fluxo que passa pelo ponto
em
.
Encontre a curva do fluxo que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a curva de fluxo de um campo vetorial específico que passa pelo ponto
quando
. Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais precisamente no estudo de curvas integrais de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar equações diferenciais que descrevem como a curva evolui no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de fluxo. Imagine que o campo vetorial
representa a direção e a velocidade de um fluxo em cada ponto do plano. A curva de fluxo é o caminho seguido por uma partícula que se move de acordo com esse campo. Para encontrar essa curva, representamos a posição da partícula como
, onde
é o tempo.
Passo 3
A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade da partícula. Então, temos:
Onde
e
são as componentes do campo vetorial
.
Passo 4
No nosso caso, o campo vetorial é
. Isso significa que:
Agora, temos um sistema de equações diferenciais que precisamos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações diferenciais:
Primeiro, podemos subtrair a primeira equação da segunda para simplificar:
Isso nos dá uma relação entre as derivadas.
Passo 6
Outra abordagem é escrever o sistema na forma de matriz:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz, que nos ajudarão a construir a solução geral da equação.
Passo 7
Calculando os autovalores
da matriz:
Resolvendo:
Assim, temos dois autovalores:
e
.
Passo 8
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Resolvendo, temos
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Resolvendo, temos
. Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 9
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes que determinamos usando as condições iniciais.
Passo 10
Usando o ponto inicial
em
:
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, encontramos
e
.
Resposta
Portanto, a curva de fluxo que passa pelo ponto
em
é dada por: