Seja F(x, y) = (x+y) i + (4x+y) j um campo vetorial.
Encontre a curva do fluxo que passa pelo ponto (1, -2) em t = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a curva de fluxo de um campo vetorial específico que passa pelo ponto quando . Isso está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, mais precisamente no estudo de curvas integrais de campos vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar equações diferenciais que descrevem como a curva evolui no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de fluxo. Imagine que o campo vetorial representa a direção e a velocidade de um fluxo em cada ponto do plano. A curva de fluxo é o caminho seguido por uma partícula que se move de acordo com esse campo. Para encontrar essa curva, representamos a posição da partícula como , onde é o tempo.

Passo 3

A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade da partícula. Então, temos:
Onde e são as componentes do campo vetorial .

Passo 4

No nosso caso, o campo vetorial é . Isso significa que:
Agora, temos um sistema de equações diferenciais que precisamos resolver para encontrar e .

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações diferenciais:
Primeiro, podemos subtrair a primeira equação da segunda para simplificar:
Isso nos dá uma relação entre as derivadas.

Passo 6

Outra abordagem é escrever o sistema na forma de matriz:
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz, que nos ajudarão a construir a solução geral da equação.

Passo 7

Calculando os autovalores da matriz:
Resolvendo:
Assim, temos dois autovalores: e .

Passo 8

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvendo, temos . Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Resolvendo, temos . Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 9

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema é:
Onde e são constantes que determinamos usando as condições iniciais.

Passo 10

Usando o ponto inicial em :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, encontramos e .

Resposta

Portanto, a curva de fluxo que passa pelo ponto em é dada por:

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