Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo quando dá para encontrar uma função potencial que, basicamente, descreve o campo. Para verificar isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo e ver se ele é igual a zero. Se for, o campo é conservativo e conseguimos achar a função potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial
, o rotacional é dado por:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Como o rotacional do campo é
e não zero, isso significa que o campo
não é conservativo. Portanto, não conseguimos encontrar uma função potencial para esse campo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo, pois o rotacional de
é diferente de zero.