Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial.
(x^2 - y) i + (x - y) j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo quando dá para encontrar uma função potencial que, basicamente, descreve o campo. Para verificar isso, vamos precisar calcular o rotacional do campo e ver se ele é igual a zero. Se for, o campo é conservativo e conseguimos achar a função potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um campo vetorial , o rotacional é dado por:
No nosso caso, e . Vamos calcular as derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas:
Então:

Passo 4

Como o rotacional do campo é e não zero, isso significa que o campo não é conservativo. Portanto, não conseguimos encontrar uma função potencial para esse campo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo, pois o rotacional de é diferente de zero.

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