Ache a curvatura da curva dada no ponto indicado.
a) x=t, y=t^2, z=t^3, t=0 b) x=e^t, y=e^(-t), z=t, t=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para achar a curvatura de duas curvas no ponto onde . A matéria aqui é Curvatura de Curvas no Espaço. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da curvatura que envolve as derivadas primeira e segunda das funções que definem a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da curvatura ( ) para uma curva parametrizada no espaço:
Aqui, é o vetor posição da curva, é a primeira derivada (velocidade) e é a segunda derivada (aceleração). O símbolo representa o produto vetorial.

Passo 3

Vamos começar com a parte a) da questão:
Primeiro, determinamos :
Agora, vamos calcular as derivadas:

Passo 4

Substituindo :
Agora, fazemos o produto vetorial :
O módulo desse vetor é:
E o módulo de é:

Passo 5

Aplicando na fórmula da curvatura:

Passo 6

Agora, vamos para a parte b):
Primeiro, :
Calculando as derivadas:

Passo 7

Substituindo :
Calculando o produto vetorial:
O módulo desse vetor é:
E o módulo de é:

Passo 8

Aplicando na fórmula da curvatura:

Resposta

a) A curvatura em é .
b) A curvatura em é .

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