Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a) R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1
b) R(t) = (t^2 - 2t) i + (t^3 - t) j, t = 1
c) R(t) = 2e^t * i + 2e^(-t) * j, t = 0 d) R(t) = sent * i + sen(2t) * j, t = pi/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A questão pede para encontrarmos a curvatura e o raio de curvatura da curva definida por no ponto onde . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular a curvatura ( ) de uma curva parametrizada. A fórmula é:
E o raio de curvatura ( ) é simplesmente o inverso da curvatura:
Vamos precisar das primeiras e segundas derivadas de .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada :
Agora a segunda derivada :

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial :
A norma desse vetor é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma de :
Elevando ao cubo:

Passo 6

Agora, aplicando na fórmula da curvatura:
Substituindo :

Passo 7

Finalmente, o raio de curvatura:

Resposta

A curvatura no ponto é aproximadamente e o raio de curvatura é aproximadamente .

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