Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
ll a) x^2+y^2+z^2-9 z=0 & b) x^2+y^2=9 c) x^2+y^2=2 z & d) x^2+y^2+z^2-8 x=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: precisamos transformar as equações dadas de coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. Isso envolve entender como converter as variáveis x = r sinphi costheta y = r sinphi sintheta z = r cosphi , e para , e nas coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão:
Além disso, sabemos que .

Passo 2

Vamos resolver a parte a): r^2 - 9z = 0 implies r^2 - 9rcosphi = 0 .
Primeiro, observamos que r(r - 9cosphi) = 0 . Então, substituindo:
r = 9cosphi
Fatorando :
Ignoramos (ponto trivial), então:

Passo 3

Agora, a parte b): r^2 sin^2phi = 9 .
Em coordenadas esféricas, r = 3sinphi . Então:
r sinphi = 3
Resolvendo para :
Ou, de forma equivalente:

Passo 4

Vamos para a parte c): r^2 sin^2phi = 2r cosphi .
Substituindo em coordenadas esféricas:
r sin^2phi = 2cosphi
Dividindo ambos os lados por r = 2cosphisin^2phi = 2 cotphi cscphi (com ):
Então:

Passo 5

Finalmente, a parte d): r^2 - 8r sinphi costheta = 0 .
Primeiro, reconhecemos que r(r - 8sinphi costheta) = 0 e r = 8sinphi costheta . Substituindo:
Fatorando :
Ignoramos , então:

Resposta

As equações em coordenadas esféricas das superfícies dadas são:
a)
b)
c)
d)

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