Inverter a ordem de integração. integral0^pi4 integral2 raiz2 xpi^sen(x) f(x, y) d y d x.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração da integral dupla . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na mudança da ordem de integração em integrais múltiplas. Para resolver isso, precisamos entender a região de integração e reescrever os limites de forma que integremos primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano . O limite externo para vai de a . Para cada nesse intervalo, varia de até . Então, temos duas funções que limitam em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de para inverter a ordem de integração. Começamos com os limites inferiores e superiores de :
A segunda inequação, , pode ser resolvida para :

Passo 4

Vamos agora determinar os novos limites para e :
  • O valor mínimo de ocorre quando : .
  • O valor máximo de ocorre quando : .
Então, varia de a .
Para cada nesse intervalo, varia de até .

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida fica:
integral0^raiz22 integralarcsin(y)^pi y2 raiz2 f(x, y) , dx , dy

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