Inverter a ordem de integração.
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente na mudança da ordem de integração em integrais múltiplas. Para resolver isso, precisamos entender a região de integração e reescrever os limites de forma que integremos primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração no plano
. O limite externo para
vai de
a
. Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
. Então, temos duas funções que limitam
em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
para inverter a ordem de integração. Começamos com os limites inferiores e superiores de
:
A segunda inequação,
, pode ser resolvida para
:
Passo 4
Vamos agora determinar os novos limites para
e
:
- O valor mínimo de
ocorre quando : . - O valor máximo de
ocorre quando : .
Então,
varia de
a
.
Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida fica: