Considere as seguintes afirmaçōes:
A) Uma série
(
sumn=1^+infty an
é dita absolutamente convergente se a série de valores
absolutos
sumn=1^+infty|an|
for convergente.
B) Uma série
sumn=1^+infty an
é chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas nāo for absolutamente convergente.
C) Se uma série
sumn=1^+infty an
for absolutamente convergente, entāo ela é convergente.
D) A série
sumn=1^+infty(2 n+33 n+2)^n
converge pela teste da raíz.

Estāo corretas.

Escolha uma opção:

a. Apenas a afirmação B.
b. Todas as afirmações.
c. Nenhuma das afirmações.
d. Apenas as afirmaçőes A, B e C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta quatro afirmações sobre séries matemáticas e pede para identificar quais estão corretas. A matéria envolvida é convergência de séries, incluindo conceitos como convergência absoluta, convergência condicional e o teste da raiz. Para resolver, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e como aplicar o teste da raiz para verificar a convergência de uma série específica.

Passo 2

Afirmação A: “Uma série é dita absolutamente convergente se a série de valores absolutos for convergente.”
Explicação: Convergência absoluta significa que a série formada pelos valores absolutos dos termos da série original também converge. Se converge, então é absolutamente convergente.
Conclusão: A afirmação A está correta.

Passo 3

Afirmação B: “Uma série é chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.”
Explicação: Convergência condicional ocorre quando a série converge, mas a série dos valores absolutos não converge. Ou seja, a série converge apenas devido à alternância dos sinais dos termos.
Conclusão: A afirmação B está correta.

Passo 4

Afirmação C: “Se uma série for absolutamente convergente, então ela é convergente.”
Explicação: De fato, se uma série é absolutamente convergente, ela necessariamente é convergente. A convergência absoluta é uma condição mais forte que garante a convergência da série original.
Conclusão: A afirmação C está correta.

Passo 5

Afirmação D: “A série raiz[n](2n+33n+2)^n = 2n+33n+2 converge pelo teste da raiz.”
Explicação: O teste da raiz consiste em calcular o limite . Se , a série converge absolutamente. Vamos aplicar:
Para grande, aproxima-se de , que é menor que 1. Portanto, , e a série converge pelo teste da raiz.
Conclusão: A afirmação D está correta.

Resposta

b. Todas as afirmações.

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