8- Ache d^3d t^3(raiz4 t).

Passo 1

Beleza, vamos começar. O enunciado pede para achar
d^3dt^3l(raiz4tr)
Isso é cálculo de derivadas (mais precisamente a terceira derivada) e, pra resolver, vamos usar a regra de potência e a regra do fator constante.

Passo 2

Primeiro, reescreve a função num formato mais fácil de derivar. A gente tem
raiz4t=(4t)^1/2
Usando a propriedade (ab)^n=a^n b^n, dá pra tirar a constante:
(4t)^1/2=4^1/2,t^1/2=2,t^1/2

Passo 3

Agora vamos à primeira derivada. Se f(t)=2,t^1/2, pela regra de potência (derivada de t^n é n,t^n-1) e a regra do fator constante (o 2 sai na frente), temos:
f'(t)=2cdot12,t^(1/2)-1=2cdot12,t^-1/2=t^-1/2
Em outras palavras,
ddtl(raiz4tr)=t^-1/2=1raiz t

Passo 4

Partindo desse resultado, a segunda derivada é a derivada de t^-1/2. Aplicando de novo a regra de potência:
d^2dt^2l(raiz4tr)=ddtl(t^-1/2r)=-tfrac12,t^-3/2

Passo 5

Por fim, a terceira derivada é a derivada de -tfrac12,t^-3/2. Mais uma vez, potência:
d^3dt^3l(raiz4tr) =-tfrac12cdotl(-tfrac32r),t^-5/2 =34,t^-5/2

Resposta

d^3dt^3l(raiz4tr)=34,t^-5/2 (ou) 34,t^5/2,

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