Exercício 2: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:
f(x)=tan x
lim x pi2 f(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtopi2tan x.
Este é um limite de função trigonométrica num ponto onde o denominador da definição da tangente se anula, pois
tan x = dfracsin xcos x.

Passo 2

Vamos escrever
tan x = sin xcos x
Sabemos que
sinl(tfracpi2r)=1 e cosl(tfracpi2r)=0.
Logo, conforme x se aproxima de tfracpi2, o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0, indicando que tan x “explode” para +infty ou -infty, a depender do sinal de cos x.

Passo 3

Para o limite pela esquerda, xtol(tfracpi2r)^-, temos
cos x>0.
Assim
limxto(pi2)^-tan x =limxto(pi2)^-sin xcos x =10^+ =+infty

Passo 4

Para o limite pela direita, xtol(tfracpi2r)^+, temos
cos x<0.
Logo
limxto(pi2)^+tan x =limxto(pi2)^+sin xcos x =10^- =-infty

Passo 5

Como os limites laterais não coincidem
l(+inftyneq -inftyr), o limite bilateral
limxtopi2tan x não existe.

Resposta

limxto(pi2)^-tan x=+infty, limxto(pi2)^+tan x=-infty.
Portanto, limxtopi2tan x não existe.

Exercícios relacionados