2^a Questão: Prove que a função y(x) dada é solução da equação diferencial dada:
l y(x)=C1 sen x+C2 x (1-x cot x) d^2 yd x^2-x d yd x+y=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função y(x)=C1sen x + C2x satisfaz a equação diferencial
(1 - xcot x)d^2ydx^2 - xdydx + y = 0
Conteúdo: verificação de solução de EDO linear homogênea via diferenciação e substituição.

Passo 2

Como a equação é linear e homogênea, basta verificar que as duas soluções fundamentais y1(x)=sen x e y2(x)=x satisfazem a EDO. A combinação linear delas também será solução.

Passo 3

Para y1(x)=sen x: calculamos
y1'(x)=cos x,
y1''(x)=-sen x
Substituindo na EDO:
(1 - xcot x)(-sen x) - x(cos x) + sen x = -sen x + xcot x,sen x - xcos x + sen x = xcos x - xcos x = 0

Passo 4

Para y2(x)=x: calculamos
y2'(x)=1,
y2''(x)=0
Substituindo na EDO:
(1 - xcot x)cdot0 - xcdot1 + x = -x + x = 0

Passo 5

Como ambas as soluções fundamentais satisfazem a equação, qualquer combinação linear delas, em particular y(x)=C1sen x + C2x, também satisfaz a EDO.

Resposta

A função y(x)=C1sen x + C2x satisfaz a equação diferencial dada, pois ao substituir obtemos identicamente zero.

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