Ache d yd x se:
y=cotg^4 x-cosec^4 x

Passo 1

O enunciado pede dydx para
y = cot^4 x - csc^4 x
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para potências compostas com as funções cot x e csc x, junto com as derivadas conhecidas
ddx[cot x] = -csc^2 x e ddx[csc x] = -csc x,cot x

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo u(x)=cot^4 x. Pela regra da cadeia:
ddx[cot^4 x] = 4,cot^3 x;ddx[cot x] = 4,cot^3 x;(-csc^2 x) = -4,cot^3 x,csc^2 x

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo v(x)=csc^4 x. Ainda pela regra da cadeia:
ddx[csc^4 x] = 4,csc^3 x;ddx[csc x] = 4,csc^3 x;(-csc x,cot x) = -4,csc^4 x,cot x
Como em y esse termo aparece com sinal negativo, temos
ddx[-csc^4 x] = -l(-4,csc^4 x,cot xr) = +4,csc^4 x,cot x

Passo 4

Somando as duas parcelas:
dydx = -4,cot^3 x,csc^2 x + 4,csc^4 x,cot x
Fatorando 4,cot x,csc^2 x:
dydx = 4,cot x,csc^2 x l(-cot^2 x + csc^2 xr)
Usando a identidade
csc^2 x - cot^2 x = 1,
chegamos a
dydx = 4,cot x,csc^2 x

Resposta

dydx = 4,cot x,csc^2 x

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