Ache d yd x se:
y=sec ^2 x cdot tg^2 x

Passo 1

O enunciado nos dá
y = sec^2 x cdot tan^2 x
e pede dydx. O conteúdo aqui é derivada de produto de duas funções de x, então vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para cada fator.

Passo 2

Calcular ddx(sec^2 x). Aplicando regra da cadeia em sec^2 x = (sec x)^2:
ddx(sec^2 x) = 2,sec xcdotddx(sec x) = 2,sec xcdot(sec xtan x) = 2,sec^2 xtan x

Passo 3

Calcular ddx(tan^2 x). De forma análoga, como tan^2 x=(tan x)^2:
ddx(tan^2 x) = 2,tan xcdotddx(tan x) = 2,tan xcdotsec^2 x = 2,tan x,sec^2 x

Passo 4

Aplicar a regra do produto em y = ucdot v com u=sec^2 x e v=tan^2 x:
dydx = u',v + u,v' = l(2,sec^2 xtan xr)tan^2 x + sec^2 xl(2,tan x,sec^2 xr)
Organizando termos:
dydx = 2,sec^2 xtan^3 x + 2,sec^4 xtan x = 2,sec^2 xtan xl(tan^2 x + sec^2 xr)

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica sec^2 x = 1+tan^2 x, de modo que
tan^2 x + sec^2 x = tan^2 x + (1+tan^2 x) = 2tan^2 x + 1
Logo a derivada final é
dydx = 2,sec^2 xtan x,(2tan^2 x + 1)

Resposta

dydx = 2,sec^2 xtan x,(2tan^2 x + 1)

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