Um objeto cai do repouso de acordo com a equação s=-16 t^2, onde s é a distância do objeto ao ponto de partida em t segundos e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 25600 cm de altura, ache:
a) a velocidade instantânea da pedra 1 s depois de iniciada a queda
b) a velocidade instantânea da pedra 2 s depois de iniciada a queda
c) quanto tempo leva para a pedra atingir o solo.
d) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo

Passo 1

O enunciado trata de queda livre em que a posição da pedra, medida a partir do ponto de partida e no sentido positivo para cima, é dada por
s(t)=-16,t^2
A pedra parte do repouso do topo de um edifício cuja altura é 25600 cm. Vamos usar derivada para obter a velocidade instantânea e resolver a equação de altura para achar o tempo de queda.

Passo 2

A velocidade instantânea v(t) é a derivada de s(t) em relação a t:
v(t)=dsdt=ddtl(-16,t^2r)=-32,t

Passo 3

Avaliar v(t) em t=1 s e em t=2 s:
v(1) = -32cdot1 = -32, v(2)=-32cdot2=-64
Como s está em centímetros, v fica em centímetros por segundo.

Passo 4

Para achar o tempo em que a pedra atinge o solo, escrevemos a altura acima do solo como
h(t)=25600 + s(t)=25600 -16,t^2
e impomos h(t)=0:
25600 -16,t^2 =0 Longrightarrow t^2=1600 Longrightarrow t=40 s

Passo 5

A velocidade no instante em que atinge o solo ( t=40 s) é
v(40)=-32cdot40=-1280(cm/s)

Resposta

a) -32 cm/s
b) -64 cm/s
c) 40 s
d) -1280 cm/s

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