Determine o comprimento exato da curva polar.
r=e^6 / 2, 0 <= theta <= pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = e^6theta/2 = e^3theta,
no intervalo ,0 <= theta <= pi/2.
O conteúdo é comprimento de arco em coordenadas polares, onde vamos usar a fórmula
L = integraltheta1^theta2 raizr^2 + l(drdthetar)^2,dtheta

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a theta:
drdtheta = ddthetal(e^3thetar) = 3e^3theta
Substituímos na expressão sob a raiz:
r^2 + l(drdthetar)^2 = e^6theta + l(3e^3thetar)^2 = e^6theta + 9e^6theta = 10,e^6theta
Logo,
raizr^2 + l(drdthetar)^2 = raiz10,e^6theta = raiz10,e^3theta

Passo 3

Agora o comprimento de arco fica
L = integral0^pi/2 raiz10,e^3theta,dtheta = raiz10,integral0^pi/2 e^3theta,dtheta

Passo 4

Integramos:
integral e^3theta,dtheta = 13,e^3theta,
portanto
L = raiz10,gl[e^3theta3gr]0^pi/2 = raiz103,l(e^3pi/2 - e^0r) = raiz103,l(e^3pi2 - 1r)

Resposta

L = raiz103,l(e^tfrac3pi2 - 1r)

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