Ache d yd x
y(x)=sec ^-1(x-2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular dydx da função y(x)=sec^-1(x-2). O conteúdo chave aqui é derivada de funções inversas, especialmente a derivada de sec^-1(u).

Passo 2

Vamos usar a substituição u=x-2. Assim temos y=sec^-1(u) e u' = dudx = 1.

Passo 3

A derivada da função arco-secante em relação a u é dada por:
ddusec^-1(u)=1|u|raizu^2-1

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac{1}{|u|\sqrt{u^2-1}}\cdot1.$$
Bastou então substituir dydx=dyducdotdudx=1|u|raizu^2-1cdot1 na expressão acima para obter a derivada em função de u=x-2.

Resposta

dydx=1|x-2|raiz(x-2)^2-1

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