Ache fx(1, e) e fy(1, e) dado que f(x, y)=e^x ln y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de f(x, y) = e^x ln y em relação a x e y no ponto (1, e) . Isso significa que vamos calcular fx(1, e) e fy(1, e) . Para isso, vamos precisar saber como derivar funções exponenciais e logarítmicas, e entender o que são derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , que é fx(x, y) . Como y é tratado como uma constante quando derivamos em relação a x , a função f(x, y) = e^x ln y se comporta como e^x vezes uma constante.

Passo 3

A derivada de e^x em relação a x é simplesmente e^x . Então, multiplicamos isso pela constante ln y :
fx(x, y) = e^x ln y

Passo 4

Agora, vamos calcular fx(1, e) . Substituímos x = 1 e y = e na expressão que encontramos:
fx(1, e) = e^1 ln e
Sabemos que e^1 = e e ln e = 1 (porque o logaritmo natural de e é 1).

Passo 5

Multiplicando os valores:
fx(1, e) = e times 1 = e

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , que é fy(x, y) . Aqui, x é tratado como uma constante. A função ln y tem como derivada 1y .

Passo 7

Então, a derivada parcial em relação a y fica:
fy(x, y) = e^x times 1y = e^xy

Passo 8

Agora, vamos calcular fy(1, e) . Substituímos x = 1 e y = e na expressão:
fy(1, e) = e^1e = ee
E sabemos que ee = 1 .

Resposta

fx(1, e) = e e fy(1, e) = 1

Exercícios relacionados