Ache
e
dado que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, avaliadas no ponto
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é quando derivamos uma função de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
Passo 3
Usamos a regra do produto para derivar
. A regra do produto diz que a derivada de
é
, onde
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas individuais:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é , já que a derivada de é .
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Para isso, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
Passo 8
Como
é constante em relação a
, a derivada fica:
A derivada de
em relação a
é
, aplicando a regra da cadeia.
Passo 9
Então, temos:
Passo 10
Agora, vamos avaliar
no ponto
:
Sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, temos: