Ache gx(0, 14 pi) e gy(0, 14 pi) dado que g(x, y)=e^-x sin (x+2 y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de g(x, y) = e^-x sin(x + 2y) em relação a x e a y , avaliadas no ponto (0, 14pi) . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que é quando derivamos uma função de várias variáveis em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de g em relação a x , chamada de gx(x, y) . Para isso, tratamos y como uma constante e derivamos e^-x sin(x + 2y) em relação a x .

Passo 3

Usamos a regra do produto para derivar e^-x sin(x + 2y) . A regra do produto diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' , onde u = e^-x e v = sin(x + 2y) .

Passo 4

Calculando as derivadas individuais:
  • Derivada de u = e^-x em relação a x é u' = -e^-x .
  • Derivada de v = sin(x + 2y) em relação a x é v' = cos(x + 2y) , já que a derivada de sin é cos .

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
gx(x, y) = u' cdot v + u cdot v' = (-e^-x) sin(x + 2y) + e^-x cos(x + 2y)
Simplificando:
gx(x, y) = e^-x [cos(x + 2y) - sin(x + 2y)]

Passo 6

Agora, vamos avaliar gx no ponto (0, 14pi) :
gx(0, 14pi) = e^0 [cos(0 + 2 cdot 14pi) - sin(0 + 2 cdot 14pi)]
= 1 [cos(12pi) - sin(12pi)]
Sabemos que cos(12pi) = 0 e sin(12pi) = 1 , então:
gx(0, 14pi) = 0 - 1 = -1

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de g em relação a y , chamada de gy(x, y) . Para isso, tratamos x como uma constante e derivamos e^-x sin(x + 2y) em relação a y .

Passo 8

Como e^-x é constante em relação a y , a derivada fica:
gy(x, y) = e^-x cdot ddy sin(x + 2y)
A derivada de sin(x + 2y) em relação a y é 2 cos(x + 2y) , aplicando a regra da cadeia.

Passo 9

Então, temos:
gy(x, y) = e^-x cdot 2 cos(x + 2y) = 2e^-x cos(x + 2y)

Passo 10

Agora, vamos avaliar gy no ponto (0, 14pi) :
gy(0, 14pi) = 2e^0 cos(0 + 2 cdot 14pi)
= 2 cdot 1 cdot cos(12pi)
Sabemos que cos(12pi) = 0 , então:
gy(0, 14pi) = 2 cdot 0 = 0

Resposta

Portanto, temos:
gx(0, 14pi) = -1 e gy(0, 14pi) = 0

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