Calcule partial fpartial x e partial fpartial y para:
f(x, y)=ln (x^2 y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis usando logaritmos, conteúdo de cálculo diferencial que envolve propriedades de \ e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, use a propriedade de logaritmo que separa produtos:
$$
f(x,y)=\ln\bigl(x2y\bigr)=\ln\bigl(x2\bigr)+\ln(y)=2\ln(x)+\ln(y).
$$
Isso simplifica a derivação em cada variável, pois cada termo depende isoladamente de uma variável.

Passo 3

Para calcular \ f(x,y)=2ln(x)+ln(y) , trate \ partial fpartial x=2cdot1x=2x como constante e derive
$$
f(x,y)=2\ln(x)+\ln(y)
$$
em relação a \ . Usando \ obtemos:
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
$$

Passo 4

Para calcular \ f(x,y)=2ln(x)+ln(y) , trate \ partial fpartial y=1y como constante e derive
$$
f(x,y)=2\ln(x)+\ln(y)
$$
em relação a \ . Usando \ obtemos:
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}.
$$

Resposta

$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2}{x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}$

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