Calcule
e
para:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função de duas variáveis usando logaritmos, conteúdo de cálculo diferencial que envolve propriedades de \
e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, use a propriedade de logaritmo que separa produtos:
$$
f(x,y)=\ln\bigl(x2y\bigr)=\ln\bigl(x2\bigr)+\ln(y)=2\ln(x)+\ln(y).
$$
f(x,y)=\ln\bigl(x2y\bigr)=\ln\bigl(x2\bigr)+\ln(y)=2\ln(x)+\ln(y).
$$
Isso simplifica a derivação em cada variável, pois cada termo depende isoladamente de uma variável.
Passo 3
Para calcular \
, trate \
como constante e derive
$$
f(x,y)=2\ln(x)+\ln(y)
$$
f(x,y)=2\ln(x)+\ln(y)
$$
em relação a \
. Usando \
obtemos:
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
$$
\frac{\partial f}{\partial x}=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
$$
Passo 4
Para calcular \
, trate \
como constante e derive
$$
f(x,y)=2\ln(x)+\ln(y)
$$
f(x,y)=2\ln(x)+\ln(y)
$$
em relação a \
. Usando \
obtemos:
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}.
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}.
$$
Resposta
$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2}{x},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}$