Esboce o gráfico da cada uma das funções dadas por
y=5^{x}, y=e^{x}, y=e^{-x}, y=\ln x, y=\log _{2}(x) .

Passo 1

O enunciado pede que eu esboce (desenhe) o gráfico de cada uma das cinco funções abaixo:
y=5^{x},\quad y=e^{x},\quad y=e^{-x},\quad y=\ln x,\quad y=\log_{2}x.
Informações dadas (explicitadas): as fórmulas das cinco funções acima. Não há figura fornecida — a tarefa é construir o esboço a partir das propriedades dessas funções. Vou listar e usar pontos-chave, assíntotas e comportamento nas extremidades para cada função, para que você consiga desenhar à mão.

Passo 2

Propriedades gerais úteis de funções exponenciais y=a^{x} com a>0 e a\neq1 (aulas rápidas e concretas):
  • Domínio: \;(-\infty,\infty) (podemos pôr qualquer x).
  • Imagem (contradomínio): \;(0,\infty) (os valores são sempre positivos).
  • Intersecção com eixo y: em x=0 temos \;a^{0}=1, logo todas passam por (0,1).
  • Assíntota horizontal: y=0 (o gráfico se aproxima de y=0 quando x\to -\infty para a>1).
  • Monotonicidade: se a>1 a função é crescente; se 0<a<1 é decrescente.
  • Derivada: \dfrac{d}{dx}a^{x}=(\ln a)\,a^{x}. Isso nos dá a inclinação instantânea e permite comparar “quão íngreme” é uma exponencial no ponto x.
    Exemplo concreto: para y=5^{x}, a derivada em x=0 é \ln5 (aprox. 1{,}609), e para y=e^{x} a derivada em x=0 é \ln e=1. Assim 5^{x} cresce mais rápido que e^{x} perto de x=0.

Passo 3

Esboço e pontos-chave para y=5^{x}:
  • Domínio: \;(-\infty,\infty).
  • Imagem: \;(0,\infty).
  • Intersecção com eixos: passa por (0,1). Pontos úteis: 5^{1}=5 (logo (1,5)), 5^{-1}=\tfrac{1}{5}=0{,}2 (logo (-1,0{,}2)).
  • Assíntota: y=0 quando x\to -\infty.
  • Monotonicidade: crescente (porque 5>1).
  • Concavidade: segunda derivada \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}5^{x}=(\ln5)^{2}5^{x}>0 → côncava para cima (convexa).
    Como desenhar: marque (0,1), (1,5) bem acima do eixo x, marque (-1,0{,}2) perto do eixo x. Desenhe uma curva que sobe rápido para a direita e se aproxima de y=0 à esquerda.

Passo 4

Esboço e pontos-chave para y=e^{x}:
  • Domínio: \;(-\infty,\infty).
  • Imagem: \;(0,\infty).
  • Intersecção com eixos: passa por (0,1). Pontos úteis: e^{1}=e\approx2{,}718 (logo (1,e)), e^{-1}=\tfrac{1}{e}\approx0{,}3679 (logo (-1,0{,}3679)).
  • Assíntota: y=0.
  • Monotonicidade: crescente.
  • Concavidade: convexa (segunda derivada positiva).
    Comparação com 5^{x}: ambos passam por (0,1), mas e^{x} é menos íngreme que 5^{x} (no ponto x=0, inclinações \ln e=1 vs \ln5\approx1{,}609). Desenhe e^{x} subindo, porém mais “suave” que 5^{x}.

Passo 5

Esboço e pontos-chave para y=e^{-x}:
  • Podemos reescrever \;e^{-x}=(e^{x})^{-1}.
  • Domínio: \;(-\infty,\infty).
  • Imagem: \;(0,\infty).
  • Intersecção: passa por (0,1). Pontos: e^{-1}\approx0{,}3679 em x=1 (ou seja (1,0{,}3679)), e para x=-1 temos e^{-(-1)}=e^{1}=e (ou seja (-1,e)).
  • Assíntota: y=0 quando x\to\infty; quando x\to -\infty cresce sem limite.
  • Monotonicidade: decrescente (derivada \dfrac{d}{dx}e^{-x}=-e^{-x}<0).
  • Como obter pelo desenho de e^{x}: e^{-x} é a reflexão de e^{x} em relação ao eixo y (troca x por -x). Portanto, desenhe e^{x} e reflita horizontalmente.
    Dica prática: marque (0,1), (1,0{,}3679), (-1,e) e ligue com uma curva que decresce para a direita.

Passo 6

Propriedades gerais de logaritmos \log_{a}x com a>0, a\neq1:
  • Domínio: \;(0,\infty) (log só está definido para x>0).
  • Imagem: (-\infty,\infty) (log pode assumir qualquer valor real).
  • Intersecção com eixos: passa por (1,0) porque \log_{a}1=0.
  • Assíntota vertical: x=0 (o gráfico se aproxima de x=0 verticalmente).
  • Monotonicidade: se a>1 a função é crescente; se 0<a<1 é decrescente.
  • Derivada: \dfrac{d}{dx}\log_{a}x=\dfrac{1}{x\ln a}. Para \ln x (base e), \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
  • Relação com exponenciais: \log_{a}x é a inversa de a^{x}. Graficamente, o logaritmo é o espelho da exponencial em relação à reta y=x. Então, para desenhar \ln x a partir de e^{x}, basta refletir e^{x} em y=x.

Passo 7

Esboço e pontos-chave para y=\ln x:
  • Domínio: \;(0,\infty).
  • Imagem: (-\infty,\infty).
  • Pontos importantes: \ln1=0 (1,0). \ln e=1 (e,1). \ln\left(\tfrac{1}{e}\right)=-1 \left(\tfrac{1}{e},-1\right).
  • Assíntota vertical: x=0.
  • Monotonicidade: crescente (pois base e>1).
  • Concavidade: segunda derivada \dfrac{d^{2}}{dx^{2}}\ln x=-\dfrac{1}{x^{2}}<0 → côncava para baixo.
    Desenho: marque o ponto (1,0) na interseção, marque (e,1) um pouco à direita de 2,7 no eixo x e desenhe a curva que sobe lentamente para a direita e desce para -\infty quando x\to0^+.

Passo 8

Esboço e pontos-chave para y=\log_{2}x:
  • Domínio: \;(0,\infty).
  • Imagem: (-\infty,\infty).
  • Pontos: \log_{2}1=0 (1,0). \log_{2}2=1 (2,1). \log_{2}\tfrac{1}{2}=-1 (\tfrac{1}{2},-1).
  • Assíntota vertical: x=0.
  • Derivada: \dfrac{d}{dx}\log_{2}x=\dfrac{1}{x\ln2}. Em x=1, a inclinação é \dfrac{1}{\ln2}\approx1{,}443, ou seja, em x=1 a \log_{2}x é mais íngreme que \ln x (que tem inclinação 1 em x=1).
  • Relação: \log_{2}x=\dfrac{\ln x}{\ln2} — é apenas um múltiplo de \ln x, por isso tem o mesmo formato, só “esticado” verticalmente por 1/\ln2.
    Desenho: marque (1,0), (2,1), (1/2,-1) e desenhe curva que sobe à direita e vai a -\infty quando x\to0^+, mais íngreme que \ln x.

Passo 9

Como montar os cinco gráficos no mesmo sistema de eixos (passo a passo prático para você desenhar na prova):
  1. Desenhe eixos coordenados e trace linhas guias x=0 e y=0.
  2. Marque os pontos comuns: exponentiais passam por (0,1); logaritmos por (1,0).
  3. Para exponenciais:
    • Coloque (1,5) para 5^{x} e (1,e) para e^{x}. Em x=-1 coloque ( -1,0{,}2 ) para 5^{x} e (-1,0{,}3679) para e^{x}.
    • Desenhe 5^{x} subindo mais rápido que e^{x}. Ambas se aproximam de y=0 à esquerda.
  4. Para e^{-x}: marque (1,0{,}3679) e (-1,e) e desenhe uma curva decrescente que tende a 0 quando x\to\infty.
  5. Para logaritmos:
    • Marque (1,0), (e,1) para \ln x e (2,1) para \log_{2}x.
    • Ambos têm assíntota vertical x=0; \log_{2}x sobe mais rápido que \ln x.
  6. Dica visual: exponenciais e logaritmos são reflexos entre si em relação à reta y=x. Assim, se você desenhar bem e^{x}, a reflexão dá \ln x.
  7. Acrescente setas nas extremidades para indicar o comportamento ilimitado ( x\to\infty ou -\infty).

Passo 10

Resumo rápido de valores numéricos para plotar sem calculadora (pontos fáceis):
  • 5^{1}=5, 5^{-1}=\tfrac{1}{5}=0{,}2.
  • e^{1}=e\approx2{,}718, e^{-1}\approx0{,}3679.
  • e^{-1} aparece também em e^{-x} em x=1.
  • \ln1=0, \ln e=1.
  • \log_{2}1=0, \log_{2}2=1.
    Use esses pontos para posicionar cada curva.

Resposta

y=5^{x}: domínio (-\infty,\infty), imagem (0,\infty), passa por (0,1) e (1,5), assíntota horizontal y=0, crescente e convexa (é a exponencial mais íngreme entre as apresentadas).\n
y=e^{x}: domínio (-\infty,\infty), imagem (0,\infty), passa por (0,1) e (1,e), assíntota y=0, crescente e convexa (menos íngreme que 5^{x}).\n
y=e^{-x}: domínio (-\infty,\infty), imagem (0,\infty), passa por (0,1), decrescente, assíntota y=0 para x\to\infty; é reflexão de e^{x} em relação ao eixo y.\n
y=\ln x: domínio (0,\infty), imagem (-\infty,\infty), passa por (1,0) e (e,1), assíntota vertical x=0, crescente e côncava para baixo; é inversa de e^{x} (reflexão em y=x).\n
y=\log_{2}x: domínio (0,\infty), imagem (-\infty,\infty), passa por (1,0) e (2,1), assíntota vertical x=0, crescente; \log_{2}x=\dfrac{\ln x}{\ln2} (é a mesma forma de \ln x mas verticalmente esticada).

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