Esboce o gráfico da cada uma das funções dadas por
Passo 1
O enunciado pede que eu esboce (desenhe) o gráfico de cada uma das cinco funções abaixo:
Informações dadas (explicitadas): as fórmulas das cinco funções acima. Não há figura fornecida — a tarefa é construir o esboço a partir das propriedades dessas funções. Vou listar e usar pontos-chave, assíntotas e comportamento nas extremidades para cada função, para que você consiga desenhar à mão.
Passo 2
Propriedades gerais úteis de funções exponenciais
com
e
(aulas rápidas e concretas):
- Domínio:
(podemos pôr qualquer ). - Imagem (contradomínio):
(os valores são sempre positivos). - Intersecção com eixo
: em temos , logo todas passam por . - Assíntota horizontal:
(o gráfico se aproxima de quando para ). - Monotonicidade: se
a função é crescente; se é decrescente. - Derivada:
. Isso nos dá a inclinação instantânea e permite comparar “quão íngreme” é uma exponencial no ponto .
Exemplo concreto: para, a derivada em é (aprox. ), e para a derivada em é . Assim cresce mais rápido que perto de .
Passo 3
Esboço e pontos-chave para
:
- Domínio:
. - Imagem:
. - Intersecção com eixos: passa por
. Pontos úteis: (logo ), (logo ). - Assíntota:
quando . - Monotonicidade: crescente (porque
). - Concavidade: segunda derivada
→ côncava para cima (convexa).
Como desenhar: marque (0,1), (1,5) bem acima do eixo, marque (-1,0{,}2) perto do eixo . Desenhe uma curva que sobe rápido para a direita e se aproxima de à esquerda.
Passo 4
Esboço e pontos-chave para
:
- Domínio:
. - Imagem:
. - Intersecção com eixos: passa por
. Pontos úteis: (logo ), (logo ). - Assíntota:
. - Monotonicidade: crescente.
- Concavidade: convexa (segunda derivada positiva).
Comparação com: ambos passam por , mas é menos íngreme que (no ponto , inclinações vs ). Desenhe subindo, porém mais “suave” que .
Passo 5
Esboço e pontos-chave para
:
- Podemos reescrever
. - Domínio:
. - Imagem:
. - Intersecção: passa por
. Pontos: em (ou seja ), e para temos (ou seja ). - Assíntota:
quando ; quando cresce sem limite. - Monotonicidade: decrescente (derivada
). - Como obter pelo desenho de
: é a reflexão de em relação ao eixo (troca por ). Portanto, desenhe e reflita horizontalmente.
Dica prática: marque (0,1), (1,0{,}3679), (-1,e) e ligue com uma curva que decresce para a direita.
Passo 6
Propriedades gerais de logaritmos
com
,
:
- Domínio:
(log só está definido para ). - Imagem:
(log pode assumir qualquer valor real). - Intersecção com eixos: passa por
porque . - Assíntota vertical:
(o gráfico se aproxima de verticalmente). - Monotonicidade: se
a função é crescente; se é decrescente. - Derivada:
. Para (base ), . - Relação com exponenciais:
é a inversa de . Graficamente, o logaritmo é o espelho da exponencial em relação à reta . Então, para desenhar a partir de , basta refletir em .
Passo 7
Esboço e pontos-chave para
:
- Domínio:
. - Imagem:
. - Pontos importantes:
→ . → . → . - Assíntota vertical:
. - Monotonicidade: crescente (pois base
). - Concavidade: segunda derivada
→ côncava para baixo.
Desenho: marque o ponto (1,0) na interseção, marque (e,1) um pouco à direita de 2,7 no eixoe desenhe a curva que sobe lentamente para a direita e desce para quando .
Passo 8
Esboço e pontos-chave para
:
- Domínio:
. - Imagem:
. - Pontos:
→ . → . → . - Assíntota vertical:
. - Derivada:
. Em , a inclinação é , ou seja, em a é mais íngreme que (que tem inclinação em ). - Relação:
— é apenas um múltiplo de , por isso tem o mesmo formato, só “esticado” verticalmente por .
Desenho: marque (1,0), (2,1), (1/2,-1) e desenhe curva que sobe à direita e vai aquando , mais íngreme que .
Passo 9
Como montar os cinco gráficos no mesmo sistema de eixos (passo a passo prático para você desenhar na prova):
- Desenhe eixos coordenados e trace linhas guias
e . - Marque os pontos comuns: exponentiais passam por
; logaritmos por . - Para exponenciais:
- Coloque
para e para . Em coloque para e para . - Desenhe
subindo mais rápido que . Ambas se aproximam de à esquerda.
- Coloque
- Para
: marque e e desenhe uma curva decrescente que tende a quando . - Para logaritmos:
- Marque
, para e para . - Ambos têm assíntota vertical
; sobe mais rápido que .
- Marque
- Dica visual: exponenciais e logaritmos são reflexos entre si em relação à reta
. Assim, se você desenhar bem , a reflexão dá . - Acrescente setas nas extremidades para indicar o comportamento ilimitado (
ou ).
Passo 10
Resumo rápido de valores numéricos para plotar sem calculadora (pontos fáceis):
-
, . -
, . -
aparece também em em . -
, . -
, .
Use esses pontos para posicionar cada curva.