Ache a derivada (usando a regra da cadeia) de cada uma das seguintes funções dadas por:
Passo 1
O problema pede: “Ache a derivada (usando a regra da cadeia) de cada uma das funções abaixo”. As funções fornecidas são (copiando do enunciado, usando notação trigonométrica padrão):
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Para cada
é pedido . - Devemos aplicar a regra da cadeia quando houver composição de funções (por exemplo,
é uma composição). - Não há restrições de domínio explicitadas além das implícitas (por exemplo, dentro do
deve ser positivo), mas podemos derivar simbolicamente.
Passo 2
Apresento a regra da cadeia e as derivadas básicas que usarei. Regra da cadeia (forma padrão): se
; então
Explicando:
é a função interna,
é a função externa com
;
é a derivada de
em termos de
, e multiplicamos por
. Vou também usar estas derivadas conhecidas:
Aqui
é qualquer função de
; sempre que aplicar uma dessas fórmulas, multiplico pelo derivado da parte interna conforme a regra da cadeia.
Passo 3
Derivada de
.
Reescrever a raiz como potência: . Defina
. Então
.
Aplicando a regra da potência com cadeia:
Reescrever a raiz como potência:
Aplicando a regra da potência com cadeia:
Agora calcule
:
Substituindo:
Se desejar, reescrever em forma de raiz:
Passo 4
Derivada de
.
Aqui a função externa é com
. Pela regra da cadeia:
Aqui a função externa é
E
. Portanto
Passo 5
Derivada de
.
Função externa com
. Pela cadeia:
Função externa
Sabemos
(ou
). Assim
Opcionalmente, pode escrever
, então
Passo 6
Derivada de
.
Aqui e
. Pela regra da potência com cadeia:
Aqui
Calcule
, então também
Passo 7
Derivada de
.
Função externa com
. Pela cadeia:
Função externa
Calcule
. Uma forma rápida:
, então a derivada é
. Assim
Portanto
Podemos também juntar termos como
, mas a forma anterior já é boa.
Passo 8
Derivada de
.
Função externa com
. Pela regra do
com cadeia:
Função externa
Calcule o numerador:
Logo
Passo 9
Derivada de
.
Aqui temos uma composição tripla. Defina, para clareza, ,
e
.
Aplicando a cadeia passo a passo:
Aqui temos uma composição tripla. Defina, para clareza,
Aplicando a cadeia passo a passo:
Agora
e
. Multiplicando os três fatores:
Há três sinais negativos;
. Portanto