Ache a derivada (usando a regra da cadeia) de cada uma das seguintes funções dadas por:
\begin{gathered} f_{1}(x)=\sqrt{x^{3}-7 x^{5}+1}, f_{2}(x)=\operatorname{sen}\left(e^{x}\right), f_{3}(x)=\cos (\operatorname{tg} x), f_{4}(x)=\left(1+\cos ^{2} x\right)^{11} \\\ f_{5}(x)=e^{\left.x^{3}+\ln (2 x)\right)}, f_{6}(x)=\ln \left(x^{5}-e^{2 x}\right), f_{7}(x)=\cos (\cos (\cos x)) \end{gathered}

Passo 1

O problema pede: “Ache a derivada (usando a regra da cadeia) de cada uma das funções abaixo”. As funções fornecidas são (copiando do enunciado, usando notação trigonométrica padrão):
\begin{gathered} f_{1}(x)=\sqrt{x^{3}-7 x^{5}+1},\qquad f_{2}(x)=\sin\left(e^{x}\right),\qquad f_{3}(x)=\cos(\tan x),\\\ f_{4}(x)=\left(1+\cos^{2} x\right)^{11},\qquad f_{5}(x)=e^{x^{3}+\ln(2x)},\qquad f_{6}(x)=\ln\left(x^{5}-e^{2x}\right),\\\ f_{7}(x)=\cos(\cos(\cos x)). \end{gathered}
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Para cada f_{i} é pedido f_{i}'(x).
  • Devemos aplicar a regra da cadeia quando houver composição de funções (por exemplo, \sin(e^x) é uma composição).
  • Não há restrições de domínio explicitadas além das implícitas (por exemplo, dentro do \ln deve ser positivo), mas podemos derivar simbolicamente.

Passo 2

Apresento a regra da cadeia e as derivadas básicas que usarei. Regra da cadeia (forma padrão): se \;F(x)=g(h(x)); então
F'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x).
Explicando: h(x) é a função interna, g(u) é a função externa com u=h(x); g' é a derivada de g em termos de u, e multiplicamos por h'(x). Vou também usar estas derivadas conhecidas:
\frac{d}{dx}\big(e^{u(x)}\big)=e^{u(x)}\cdot u'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(\ln u(x)\big)=\frac{u'(x)}{u(x)},
\frac{d}{dx}\big(u(x)^{n}\big)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(\sin u(x)\big)=\cos u(x)\cdot u'(x),
\frac{d}{dx}\big(\cos u(x)\big)=-\sin u(x)\cdot u'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big(\tan u(x)\big)=\operatorname{sec}^{2}u(x)\cdot u'(x)=\big(1+\tan^{2}u(x)\big)u'(x).
Aqui u(x) é qualquer função de x; sempre que aplicar uma dessas fórmulas, multiplico pelo derivado da parte interna conforme a regra da cadeia.

Passo 3

Derivada de f_{1}(x)=\sqrt{x^{3}-7 x^{5}+1}.
Reescrever a raiz como potência: \sqrt{\cdot}=(\cdot)^{1/2}. Defina u(x)=x^{3}-7x^{5}+1. Então f_{1}(x)=u(x)^{1/2}.
Aplicando a regra da potência com cadeia:
f_{1}'(x)=\frac{1}{2}u(x)^{-1/2}\cdot u'(x).
Agora calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)-7\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)+\frac{d}{dx}(1)=3x^{2}-7\cdot5x^{4}+0=3x^{2}-35x^{4}.
Substituindo:
f_{1}'(x)=\frac{1}{2}\big(x^{3}-7x^{5}+1\big)^{-1/2}\big(3x^{2}-35x^{4}\big).
Se desejar, reescrever em forma de raiz:
f_{1}'(x)=\frac{3x^{2}-35x^{4}}{2\sqrt{x^{3}-7x^{5}+1}}.

Passo 4

Derivada de f_{2}(x)=\sin\big(e^{x}\big).
Aqui a função externa é \sin(u) com u(x)=e^{x}. Pela regra da cadeia:
f_{2}'(x)=\cos\big(e^{x}\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(e^{x}\big).
E \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Portanto
f_{2}'(x)=\cos\big(e^{x}\big)\,e^{x}.

Passo 5

Derivada de f_{3}(x)=\cos(\tan x).
Função externa \cos(u) com u(x)=\tan x. Pela cadeia:
f_{3}'(x)=-\sin\big(\tan x\big)\cdot \frac{d}{dx}\big(\tan x\big).
Sabemos \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x (ou 1+\tan^{2}x). Assim
f_{3}'(x)=-\sin\big(\tan x\big)\,\operatorname{sec}^{2}x.
Opcionalmente, pode escrever \operatorname{sec}^{2}x=1+\tan^{2}x, então
f_{3}'(x)=-\sin\big(\tan x\big)\big(1+\tan^{2}x\big).

Passo 6

Derivada de f_{4}(x)=\big(1+\cos^{2}x\big)^{11}.
Aqui v(x)=1+\cos^{2}x e f_{4}(x)=v(x)^{11}. Pela regra da potência com cadeia:
f_{4}'(x)=11\,v(x)^{10}\cdot v'(x).
Calcule v'(x)=\frac{d}{dx}\big(\cos^{2}x\big)=2\cos x\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\cos x\sin x. \] Logo \[f_{4}'(x)=11\big(1+\cos^{2}x\big)^{10}\cdot\big(-2\cos x\sin x\big)=-22\cos x\sin x\big(1+\cos^{2}x\big)^{10}.\] Se preferir usar identidades trigonométricas, observe \(2\cos x\sin x=\sin(2x), então também
f_{4}'(x)=-11\sin(2x)\big(1+\cos^{2}x\big)^{10}.)

Passo 7

Derivada de f_{5}(x)=e^{x^{3}+\ln(2x)}.
Função externa e^{u} com u(x)=x^{3}+\ln(2x). Pela cadeia:
f_{5}'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x)=e^{x^{3}+\ln(2x)}\big(3x^{2}+\frac{d}{dx}\ln(2x)\big).
Calcule \frac{d}{dx}\ln(2x). Uma forma rápida: \ln(2x)=\ln 2+\ln x, então a derivada é 0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}. Assim
u'(x)=3x^{2}+\frac{1}{x}.
Portanto
f_{5}'(x)=e^{x^{3}+\ln(2x)}\left(3x^{2}+\frac{1}{x}\right).
Podemos também juntar termos como \displaystyle f_{5}'(x)=e^{x^{3}+\ln(2x)}\frac{3x^{3}+1}{x}, mas a forma anterior já é boa.

Passo 8

Derivada de f_{6}(x)=\ln\big(x^{5}-e^{2x}\big).
Função externa \ln(u) com u(x)=x^{5}-e^{2x}. Pela regra do \ln com cadeia:
f_{6}'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{\frac{d}{dx}\big(x^{5}-e^{2x}\big)}{x^{5}-e^{2x}}.
Calcule o numerador:
\frac{d}{dx}\big(x^{5}\big)-\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\big)=5x^{4}-2e^{2x}.
Logo
f_{6}'(x)=\frac{5x^{4}-2e^{2x}}{x^{5}-e^{2x}}.

Passo 9

Derivada de f_{7}(x)=\cos(\cos(\cos x)).
Aqui temos uma composição tripla. Defina, para clareza, u_{1}(x)=\cos x, u_{2}(x)=\cos(u_{1}(x))=\cos(\cos x) e f_{7}(x)=\cos(u_{2}(x)).
Aplicando a cadeia passo a passo:
f_{7}'(x)=-\sin\big(u_{2}(x)\big)\cdot u_{2}'(x).
Agora u_{2}'(x)=-\sin\big(u_{1}(x)\big)\cdot u_{1}'(x) e u_{1}'(x)=-\sin x. Multiplicando os três fatores:
f_{7}'(x)=-\sin\big(\cos(\cos x)\big)\cdot\big(-\sin(\cos x)\big)\cdot\big(-\sin x\big).
Há três sinais negativos; (-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1. Portanto
f_{7}'(x)=-\sin\big(\cos(\cos x)\big)\,\sin(\cos x)\,\sin x.

Resposta

f_{1}'(x)=\dfrac{3x^{2}-35x^{4}}{2\sqrt{x^{3}-7x^{5}+1}}
f_{2}'(x)=\cos\big(e^{x}\big)\,e^{x}
f_{3}'(x)=-\sin\big(\tan x\big)\,\operatorname{sec}^{2}x
f_{4}'(x)=-22\cos x\sin x\big(1+\cos^{2}x\big)^{10}
f_{5}'(x)=e^{x^{3}+\ln(2x)}\left(3x^{2}+\dfrac{1}{x}\right)
f_{6}'(x)=\dfrac{5x^{4}-2e^{2x}}{x^{5}-e^{2x}}
f_{7}'(x)=-\sin\big(\cos(\cos x)\big)\,\sin(\cos x)\,\sin x

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