Ache o gradiente de
em
:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função:
. - Ponto:
. - Pedido: encontrar o gradiente de
em , ou seja .
Passo 2
O que é o gradiente e por que ele importa (explicação didática):
- O gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais de :
- Cada componente diz a taxa de variação de
quando movemos só em (mantendo fixo) ou só em (mantendo fixo). - Vou então calcular
e e depois avaliar em .
Passo 3
Estratégia de cálculo (cadeia + derivada básica):
- Escrever
como composição: defina . Então . - A regra da cadeia diz que, para derivar
,
- Lembrete:
. E , .
Passo 4
Cálculo de
passo a passo:
- Usando a regra da cadeia,
- Simplificando os fatores
e escrevendo ,
Passo 5
Cálculo de
passo a passo:
- De modo análogo,
Passo 6
Expressão final do gradiente (antes de avaliar em
):
Comentário didático curto: para esta função
(distância ao origem), o gradiente é o vetor radial unitário
com
. Observação: em
a expressão não vale (divisão por zero), então o gradiente não está definido ali.
Passo 7
Avaliar o gradiente em
:
- Calcular
. - Substituir em cada componente:
Passo 8
Interpretação rápida e verificação:
- O vetor
tem comprimento
ou seja é unitário, aponta radialmente para fora (do ponto em direção ao sentido de aumentar a distância) — consistente com a interpretação geométrica da função distância.