Ache o gradiente de f em P :
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ; P=(-4,3)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função: f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Ponto: P=(-4,3).
  • Pedido: encontrar o gradiente de f em P, ou seja \nabla f(P).

Passo 2

O que é o gradiente e por que ele importa (explicação didática):
  • O gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Cada componente diz a taxa de variação de f quando movemos só em x (mantendo y fixo) ou só em y (mantendo x fixo).
  • Vou então calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e depois avaliar em P.

Passo 3

Estratégia de cálculo (cadeia + derivada básica):
  • Escrever f como composição: defina u(x,y)=x^{2}+y^{2}. Então f(x,y)=\sqrt{u}=u^{1/2}.
  • A regra da cadeia diz que, para derivar f(x,y)=u(x,y)^{1/2},
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{d}{du}(u^{1/2})\cdot\frac{\partial u}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{d}{du}(u^{1/2})\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
  • Lembrete: \dfrac{d}{du}u^{1/2}=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}. E \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x, \dfrac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} passo a passo:
  • Usando a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(2x).
  • Simplificando os fatores 2 e escrevendo u=x^{2}+y^{2},
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} passo a passo:
  • De modo análogo,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(2y)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 6

Expressão final do gradiente (antes de avaliar em P):
\nabla f(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\;\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right).
Comentário didático curto: para esta função f (distância ao origem), o gradiente é o vetor radial unitário \big(x/r,\;y/r\big) com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Observação: em (0,0) a expressão não vale (divisão por zero), então o gradiente não está definido ali.

Passo 7

Avaliar o gradiente em P=(-4,3):
  • Calcular r=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
  • Substituir em cada componente:
\frac{\partial f}{\partial x}(-4,3)=\frac{-4}{5} ,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(-4,3)=\frac{3}{5}.

Passo 8

Interpretação rápida e verificação:
  • O vetor \left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right) tem comprimento
\sqrt{\left(-\dfrac{4}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}+\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{25}{25}}=1,
ou seja é unitário, aponta radialmente para fora (do ponto em direção ao sentido de aumentar a distância) — consistente com a interpretação geométrica da função distância.

Resposta

\nabla f(-4,3)=\left(-\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}\right)

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