Ache a derivada direcional da função dada no ponto P indicado e direção \vec{v} dada.
g(x, y)=\frac{x^{2}+2 \ln y}{2 x+y} \quad P(-3,1) \quad \vec{v}=(4,3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
g(x,y)=\frac{x^{2}+2\ln y}{2x+y}
no ponto P(-3,1) e na direção do vetor \vec v=(4,3).
O conteúdo é cálculo de derivada direcional, que envolve:
  1. calcular o gradiente \nabla g=(g_x,g_y) por regra do quociente;
  2. normalizar \vec v para obter o vetor unitário \mathbf u;
  3. usar D_{\mathbf u}g(P)=\nabla g(P)\cdot\mathbf u.

Passo 2

Defina o numerador e denominador
N(x,y)=x^2+2\ln y,\quad D(x,y)=2x+y.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2},\qquad \frac{\partial g}{\partial y} =\frac{N_y\,D - N\,D_y}{D^2}.
Como N_x=2x, D_x=2, N_y=2\bigl(\tfrac1y\bigr) e D_y=1, temos
g_x(x,y) =\frac{2x\,(2x+y)-2\,(x^2+2\ln y)}{(2x+y)^2}, \quad g_y(x,y) =\frac{\frac{2}{y}(2x+y)-(x^2+2\ln y)}{(2x+y)^2}.

Passo 3

No ponto P(-3,1) calculamos
N(-3,1)=(-3)^2+2\ln1=9, \quad D(-3,1)=2(-3)+1=-5.
Então
g_x(-3,1) =\frac{2(-3)\cdot(-5)-2\cdot9}{(-5)^2} =\frac{30-18}{25}=\frac{12}{25},
g_y(-3,1) =\frac{\frac{2}{1}\cdot(-5)-9}{25} =\frac{-10-9}{25}=-\frac{19}{25}.
Logo \nabla g(-3,1)=\bigl(\tfrac{12}{25},-\tfrac{19}{25}\bigr).

Passo 4

O vetor direção unitário é
\mathbf u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|} =\frac{(4,3)}{\sqrt{4^2+3^2}} =\Bigl(\frac45,\frac35\Bigr).
Portanto a derivada direcional é
D_{\mathbf u}g(-3,1) =\nabla g(-3,1)\cdot\mathbf u =\frac{12}{25}\cdot\frac45 +\biggl(-\frac{19}{25}\biggr)\cdot\frac35 =\frac{48-57}{125} =-\frac{9}{125}.

Resposta

A derivada direcional de g no ponto P(-3,1) na direção de (4,3) é
-\frac{9}{125}.

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