Uma fabricante de refrigerantes vende seu produto em latas cilíndricas que possuem 12,5 cm de altura e 3,25 \mathrm{~cm} de raio. Devido a uma mudança na legislação do país, as latas necessitam agora ter 12,4 \mathrm{~cm} de altura e 3,3 \mathrm{~cm} de raio.
a) Qual a expressão do diferencial total do volume da lata?
b) Use aproximação linear para encontrar um valor aproximado para a variação do volume a partir do momento da mudança de legislação no país. (Use \pi=3,1416 )

Passo 1

O volume de uma lata cilíndrica é dado por
V = \pi r^2 h
onde r é o raio e h é a altura. Inicialmente temos r = 3,25 cm e h = 12,5 cm. Após a mudança, r passa a ser 3,3 cm e h passa a ser 12,4 cm. Precisamos (a) obter a expressão do diferencial total dV e (b) usar aproximação linear para estimar \Delta V.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de V:
\frac{\partial V}{\partial r} = 2\pi r h \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial V}{\partial h} = \pi r^2.
Logo, o diferencial total é
dV = 2\pi r h\,dr + \pi r^2\,dh.

Passo 3

Aproximamos a variação dos parâmetros por
dr = 3,3 - 3,25 = 0,05\;\text{cm}, \qquad dh = 12,4 - 12,5 = -0,1\;\text{cm}.

Passo 4

Substituindo em
dV = 2\pi \cdot 3,25 \cdot 12,5 \cdot 0,05 \;+\; \pi \cdot (3,25)^2 \cdot (-0,1)
temos
2\cdot3,25\cdot12,5\cdot0,05 = 4,0625, \quad (3,25)^2\cdot0,1 = 1,05625,
portanto
dV = \pi\bigl(4,0625 - 1,05625\bigr) = 3,00625\,\pi.
Usando \pi = 3,1416,
dV \approx 3,00625 \times 3,1416 \approx 9,44\;\text{cm}^3.

Resposta

a) \displaystyle dV = 2\pi r h\,dr + \pi r^2\,dh.
b) \displaystyle \Delta V \approx dV \approx 9,44\;\text{cm}^3.

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