Dada a função f(x, y)=\sqrt{x^{2}+3 y^{2}}. Pede-se:
a) A equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto (-1,4, f(-1,4)).
b) A equação da reta normal a este gráfico neste mesmo ponto.
c) A intersecção da reta normal acima com o plano 2 x-3 y-5 z+40=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\sqrt{x^2+3y^2}
e pede:
– (a) o plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto \bigl(-1,4,f(-1,4)\bigr).
– (b) a reta normal a esse gráfico nesse ponto.
– (c) a intersecção dessa reta normal com o plano
2x-3y-5z+40=0.
Para resolver, vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente (que dá a normal ao plano tangente) e em seguida escrever a reta normal e achar sua interseção.

Passo 2

Calculemos primeiro f(-1,4):
f(-1,4)=\sqrt{(-1)^2+3\cdot4^2}=\sqrt{1+48}=\sqrt{49}=7.
As derivadas parciais são
f_x(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+3y^2}}, \quad f_y(x,y)=\frac{3y}{\sqrt{x^2+3y^2}}.
No ponto (-1,4) vale
f_x(-1,4)=\frac{-1}{7}=-\frac{1}{7}, \quad f_y(-1,4)=\frac{12}{7}.

Passo 3

O plano tangente a z=f(x,y) em (-1,4,7) tem equação
z-7 =f_x(-1,4)\,(x+1) +f_y(-1,4)\,(y-4).
Substituindo os valores:
z-7 =-\tfrac{1}{7}(x+1) +\tfrac{12}{7}(y-4).
Multiplicando ambos os lados por 7 e rearranjando, obtemos a forma simplificada
x-12y+7z=0.

Passo 4

A normal ao gráfico em (-1,4,7) é dada pelo vetor normal ao plano tangente
\mathbf N =\bigl(f_x(-1,4),\,f_y(-1,4),\,-1\bigr) =\Bigl(-\tfrac{1}{7},\,\tfrac{12}{7},\,-1\Bigr).
Podemos usar um parâmetro s e escrever a reta normal como
\begin{cases} x=-1 - s,\\\ y=4 +12s,\\\ z=7 -7s. \end{cases}

Passo 5

Para achar a intersecção da reta normal com o plano 2x-3y-5z+40=0, substituímos:
2(-1 - s) -3(4+12s) -5(7-7s) +40=0.
Isso dá
-2-2s-12-36s-35+35s+40=0 \;\Longrightarrow\; -9-3s=0 \;\Longrightarrow\; s=-3.
Substituindo s=-3 na reta:
x=-1-(-3)=2, \quad y=4+12(-3)=-32, \quad z=7-7(-3)=28.

Resposta

(a) Plano tangente:
x-12y+7z=0.
(b) Reta normal (parâmetro s\)): \[\begin{cases} x=-1 - s,\\\ y=4 +12s,\\\ z=7 -7s. \end{cases}
(c) Ponto de intersecção com (2x-3y-5z+40=0]:
(2,\,-32,\,28).

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