Ache a derivada direcional da função dada no ponto P indicado e direção \vec{v} dada.
f(x, y, z)=\left(3 x-z^{2}\right) \operatorname{arctg}(2 y-x) \quad P(0,0,5) \quad \vec{v}=(-1,2, \sqrt{5})

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y,z) = \bigl(3x - z^2\bigr)\,\arctan\bigl(2y - x\bigr)
no ponto P(0,0,5) na direção do vetor \vec v = (-1,2,\sqrt{5}).
Conteúdo: gradiente e derivada direcional. Vamos calcular \nabla f, avaliar em P, normalizar \vec v e fazer o produto escalar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f. Escrevendo
A(x,y,z) = 3x - z^2, \quad B(x,y) = \arctan(2y - x),
temos f = A\,B. Pela regra do produto e da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = 3\,B + A\cdot\frac{1}{1+(2y - x)^2}\,(-1) = 3\,\arctan(2y-x) - \frac{3x - z^2}{1+(2y-x)^2},
\frac{\partial f}{\partial y} = A\cdot\frac{1}{1+(2y - x)^2}\,(2) = \frac{2\,(3x - z^2)}{1+(2y-x)^2},
\frac{\partial f}{\partial z} = (3x - z^2)'\!\,_z \;\arctan(2y-x) = (-2z)\,\arctan(2y-x).

Passo 3

Avaliar \nabla f em P(0,0,5).
Em P: 2y - x = 0, logo \arctan(0)=0 e 3x - z^2 = -25.
\frac{\partial f}{\partial x}(P) = 3\cdot 0 - \frac{-25}{1+0} = 25, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(P) = \frac{2\cdot(-25)}{1+0} = -50, \quad \frac{\partial f}{\partial z}(P) = -2\cdot 5\cdot 0 = 0.
Portanto \nabla f(P) = (25,\,-50,\,0).

Passo 4

Normalizar o vetor \vec v = (-1,2,\sqrt5).
\|\vec v\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (\sqrt5)^2} = \sqrt{1+4+5} = \sqrt{10},
\mathbf{u} = \frac{\vec v}{\|\vec v\|} = \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}},\,\tfrac{2}{\sqrt{10}},\,\tfrac{\sqrt5}{\sqrt{10}}\Bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional D_{\vec v}f(P) = \nabla f(P)\cdot \mathbf{u}:
D_{\vec v}f(P) = 25\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{10}}\Bigr) + (-50)\Bigl(\tfrac{2}{\sqrt{10}}\Bigr) + 0\cdot\Bigl(\tfrac{\sqrt5}{\sqrt{10}}\Bigr) = \frac{-25 -100}{\sqrt{10}} = -\frac{125}{\sqrt{10}}.

Resposta

D_{\vec v}f(P) = -\frac{125}{\sqrt{10}}.

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