Ache a derivada direcional da função dada no ponto P indicado e direção \vec{v} dada.
f(x, y)=\frac{5 x^{4}}{y^{2}}-3 x y+x^{2}-1 \quad P(2,-2) \quad \vec{v}=(2,-3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\frac{5x^{4}}{y^{2}}-3xy+x^{2}-1
no ponto P=(2,-2) na direção do vetor \vec v=(2,-3).
O conteúdo envolve gradiente de f e normalização de \vec v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{5x^{4}}{y^{2}}-3xy+x^{2}-1\Bigr) =\frac{20x^{3}}{y^{2}}-3y+2x,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{5x^{4}}{y^{2}}-3xy+x^{2}-1\Bigr) =-\frac{10x^{4}}{y^{3}}-3x.

Passo 3

Avaliamo o gradiente em P=(2,-2):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,-2) =\frac{20\cdot2^{3}}{(-2)^{2}}-3(-2)+2\cdot2 =40+6+4=50,
\frac{\partial f}{\partial y}(2,-2) =-\frac{10\cdot2^{4}}{(-2)^{3}}-3\cdot2 =20-6=14.
Logo \nabla f(2,-2)=(50,14).

Passo 4

Normalizamos \vec v=(2,-3):
\|\vec v\|=\sqrt{2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{13}, \quad \mathbf{u}=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\frac{2}{\sqrt{13}},-\frac{3}{\sqrt{13}}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f(2,-2) =\nabla f(2,-2)\cdot\mathbf{u} =(50,14)\cdot\Bigl(\frac{2}{\sqrt{13}},-\frac{3}{\sqrt{13}}\Bigr) =\frac{100-42}{\sqrt{13}} =\frac{58}{\sqrt{13}}.

Resposta

\frac{58}{\sqrt{13}}

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