1. Ache a derivada direcional da função 3 x-4 x y+5 y no ponto (1,2) e na direção do vetor
    12(i+raiz3 j).
    (Sol. DU f=-5+raiz32 )

Passo 1

O enunciado pede pra achar a derivada direcional da função f(x,y)=3x-4xy+5y no ponto (1,2) na direção do vetor U=tfrac12(i+raiz3,j). É um exercício de derivada direcional, que envolve calcular o gradiente de f e fazer o produto escalar com um vetor unitário, usando a definição DU f=nabla fcdot U.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f. Usando que f(x,y)=3x-4xy+5y, temos
partial fpartial x=3-4y
e
partial fpartial y=-4x+5
Explicando: derivada parcial em x trata y como constante, e vice-versa.

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto (1,2). Substituindo x=1 e y=2 nas derivadas, dá
nabla f(1,2)=l(3-4cdot2,,-4cdot1+5r)=(-5,,1)
Ou seja, nabla f(1,2)=(-5,1).

Passo 4

Como o vetor U=tfrac12(1,raiz3) já é unitário (veja que raiz(tfrac12)^2+(tfracraiz32)^2=1), podemos usar direto a definição da derivada direcional:
DU f=nabla f(1,2)cdot U=(-5,,1)cdotl(tfrac12,,tfracraiz32r)=-5+raiz32

Resposta

-5+raiz32

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