O campo vetorial F satisfaz |F| <= 7 em todos os pontos de C que é a circunferência de raio 1 com centro na origem. Qual o maior e o menor valor possível de integralC F cdot d r ? Em quais condições esses valores são atingidos?

Passo 1

A questão pede para achar os valores extremos de integralCvec Fcdot dvec r, sabendo que C é a circunferência de raio 1 e que |vec F|<=7 em todo ponto de C. O conteúdo envolve integrais de linha de campos vetoriais e desigualdades (Cauchy–Schwarz).

Passo 2

Parametrizamos a curva C por
vec r(t)=(cos t,,sin t), dvec r(t)=(-sin t,,cos t),dt, tin[0,2pi]
Note que o comprimento de arco satisfaz
integralC|dvec r|=integral0^2pidt=2pi

Passo 3

Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
l|integralCvec Fcdot dvec rr|<=integralC|vec F|,|dvec r|<=7integralC|dvec r|=7cdot2pi=14pi
Logo
integralCvec Fcdot dvec rin[-14pi,,14pi]

Passo 4

Os valores extremos ocorrem quando em cada ponto vec F é paralelo a dvec r com magnitude máxima. Para obter +14pi, vec F deve ter |vec F|=7 e estar na direção do sentido positivo de C; para obter -14pi, vec F deve ter |vec F|=7 e estar na direção oposta ao sentido de C.

Resposta

O maior valor é 14pi, atingido quando |vec F|=7 e vec F é sempre tangente no sentido positivo de C. O menor valor é -14pi, atingido quando |vec F|=7 e vec F é sempre tangente no sentido negativo de C.

Exercícios relacionados