Questão 1

Enunciar e provar o Teorema do Valor Médio para funções de varias variáveis.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar e demonstrar o Teorema do Valor Médio (TVM) para funções de várias variáveis. O conteúdo envolve cálculo vetorial: derivada direcional, gradiente, regra da cadeia e o Teorema do Valor Médio em uma variável. Para provar, vamos reduzir a situação multidimensional a um problema unidimensional usando uma função auxiliar definida ao longo do segmento que une dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos enunciar o teorema. Seja UsubseteqR^n um conjunto convexo aberto e f:UtoR uma função de classe C^1 em U. Então, para quaisquer pontos a,bin U, existe um ponto xi no segmento fechado que une a e b tal que
f(b)-f(a)=nabla f(xi)cdot(b-a)

Passo 3

Agora, para demonstrar, definimos a função auxiliar unidimensional
phi:[0,1]toR, phi(t)=fl(a+t(b-a)r)

Passo 4

Como f é de classe C^1 em U e o segmento entre a e b está em U (convexidade garante isso), phi é diferenciável em [0,1]. Pela regra da cadeia, sua derivada é
phi'(t)=nabla fl(a+t(b-a)r)cdot (b-a)

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Médio em uma variável a phi no intervalo [0,1], existe cin(0,1) tal que
phi'(c)=phi(1)-phi(0)=f(b)-f(a) Substituindo phi'(c) pela expressão do gradiente, obtemos
f(b)-f(a)=nabla fl(a+c(b-a)r)cdot(b-a)

Passo 6

Bastando definir xi=a+c(b-a), concluímos a demonstração do Teorema do Valor Médio para funções de várias variáveis.

Resposta

Seja UsubseteqR^n aberto e convexo e f:UtoR de classe C^1. Então, para quaisquer a,bin U, existe xi no segmento que une a e b tal que
f(b)-f(a)=nabla f(xi)cdot(b-a)

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