Questão 1
Enunciar e provar o Teorema do Valor Médio para funções de varias variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar e demonstrar o Teorema do Valor Médio (TVM) para funções de várias variáveis. O conteúdo envolve cálculo vetorial: derivada direcional, gradiente, regra da cadeia e o Teorema do Valor Médio em uma variável. Para provar, vamos reduzir a situação multidimensional a um problema unidimensional usando uma função auxiliar definida ao longo do segmento que une dois pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos enunciar o teorema. Seja
um conjunto convexo aberto e
uma função de classe
em
. Então, para quaisquer pontos
, existe um ponto
no segmento fechado que une
e
tal que
Passo 3
Agora, para demonstrar, definimos a função auxiliar unidimensional
Passo 4
Como
é de classe
em
e o segmento entre
e
está em
(convexidade garante isso),
é diferenciável em
. Pela regra da cadeia, sua derivada é
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Médio em uma variável a
no intervalo
, existe
tal que
Passo 6
Bastando definir
, concluímos a demonstração do Teorema do Valor Médio para funções de várias variáveis.
Resposta
Seja
aberto e convexo e
de classe
. Então, para quaisquer
, existe
no segmento que une
e
tal que