Calcule \frac{\partial w}{\partial t} \mathrm{e} \frac{\partial w}{\partial u} pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.
w=x^{2}+y^{2}+z ; x=t u, y=t+u, z=t^{2}+u^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função composta e pede as derivadas parciais em relação a t e a u. Dados e perguntas claros:
w=x^{2}+y^{2}+z,
x=t\,u,\qquad y=t+u,\qquad z=t^{2}+u^{2}.
Pede-se calcular \dfrac{\partial w}{\partial t} e \dfrac{\partial w}{\partial u} usando a regra da cadeia e depois conferir por substituição direta seguida de derivação parcial.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a regra da cadeia para funções compostas do tipo w(x,y,z) onde x,y,z dependem de t e u. A regra da cadeia diz que, para derivar w em relação a t mantendo u fixo, somamos as contribuições de cada variável intermediária:
\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial t}.
Analogamente, para derivar em relação a u:
\frac{\partial w}{\partial u}=\frac{\partial w}{\partial x}\,\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial y}\,\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial w}{\partial z}\,\frac{\partial z}{\partial u}.
O que isso significa intuitivamente: a variação de w quando eu mudo t vem de quanto w muda se x muda vezes quanto x muda quando eu mexo t, somado ao mesmo para y e z. Cada termo é um efeito "via x", "via y" e "via z".

Passo 3

Calculemos primeiro as derivadas parciais de w em relação às suas variáveis x,y,z. Como w=x^{2}+y^{2}+z, aplicando as regras básicas de derivação:
\frac{\partial w}{\partial x}=2x,
\frac{\partial w}{\partial y}=2y,
\frac{\partial w}{\partial z}=1.
Explicação rápida: a derivada de x^{2} em relação a x é 2x; a de y^{2} em relação a y é 2y; e z é linear em z, então deriva para 1.

Passo 4

Agora as derivadas parciais de x,y,z em relação a t e u, usando x=t\,u,\; y=t+u,\; z=t^{2}+u^{2}:
\frac{\partial x}{\partial t}=u,\qquad \frac{\partial x}{\partial u}=t,
\frac{\partial y}{\partial t}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial u}=1,
\frac{\partial z}{\partial t}=2t,\qquad \frac{\partial z}{\partial u}=2u.
Explicação: por exemplo, x=t\,u é produto; ao derivar em relação a t tratamos u como constante, então sobra u.

Passo 5

Aplique a regra da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial t} usando as derivadas calculadas:
\frac{\partial w}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial t}.
Substituindo \frac{\partial w}{\partial x}=2x,\;\frac{\partial w}{\partial y}=2y,\;\frac{\partial w}{\partial z}=1 e \frac{\partial x}{\partial t}=u,\;\frac{\partial y}{\partial t}=1,\;\frac{\partial z}{\partial t}=2t, obtemos
\frac{\partial w}{\partial t}=2x\cdot u + 2y\cdot 1 + 1\cdot 2t = 2xu + 2y + 2t.
Explicação: cada termo foi escrito passo a passo substituindo os fatores.

Passo 6

Agora substituímos x=t\,u e y=t+u na expressão anterior para ficar em termos de t e u:
primeiro 2xu = 2(tu)u = 2t u^{2}.
Depois 2y = 2(t+u)=2t+2u.
Somando com 2t temos
\frac{\partial w}{\partial t}=2t u^{2} + (2t+2u) + 2t = 2t u^{2} + 4t + 2u.
Podemos também escrever fatorado:
\frac{\partial w}{\partial t}=2\big(t u^{2} + 2t + u\big).

Passo 7

Agora a regra da cadeia para \dfrac{\partial w}{\partial u}:
\frac{\partial w}{\partial u} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial u}.
Substituindo \frac{\partial w}{\partial x}=2x,\;\frac{\partial w}{\partial y}=2y,\;\frac{\partial w}{\partial z}=1 e \frac{\partial x}{\partial u}=t,\;\frac{\partial y}{\partial u}=1,\;\frac{\partial z}{\partial u}=2u, obtemos
\frac{\partial w}{\partial u}=2x\cdot t + 2y\cdot 1 + 1\cdot 2u = 2xt + 2y + 2u.

Passo 8

Substituindo x=t\,u e y=t+u na expressão de \dfrac{\partial w}{\partial u}:
primeiro 2xt = 2(tu)t = 2t^{2}u.
Depois 2y = 2(t+u)=2t+2u.
Somando com 2u temos
\frac{\partial w}{\partial u}=2t^{2}u + (2t+2u) + 2u = 2t^{2}u + 2t + 4u.
Ou fatorado:
\frac{\partial w}{\partial u}=2\big(t^{2}u + t + 2u\big).

Passo 9

Agora vamos verificar por substituição direta: escrevemos w já em função de t e u. Substituindo x=t\,u,\;y=t+u,\;z=t^{2}+u^{2} em w=x^{2}+y^{2}+z, temos
w(t,u)=(t u)^{2}+(t+u)^{2}+(t^{2}+u^{2}).

Passo 10

Expandindo e simplificando w(t,u) termo a termo:
(tu)^{2}=t^{2}u^{2},
(t+u)^{2}=t^{2}+2tu+u^{2},
t^{2}+u^{2}=t^{2}+u^{2}.
Somando tudo:
w(t,u)=t^{2}u^{2} + \big(t^{2}+2tu+u^{2}\big) + \big(t^{2}+u^{2}\big) = t^{2}u^{2} + 2t^{2} + 2u^{2} + 2tu.

Passo 11

Agora derivamos w(t,u) diretamente em relação a t, tratando u como constante e derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial t}\big(t^{2}u^{2}\big)=2t u^{2},
\frac{\partial}{\partial t}\big(2t^{2}\big)=4t,
\frac{\partial}{\partial t}\big(2u^{2}\big)=0,
\frac{\partial}{\partial t}\big(2tu\big)=2u.
Somando:
\frac{\partial w}{\partial t}=2t u^{2} + 4t + 2u,
que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia no Passo 6.

Passo 12

Agora derivamos w(t,u) diretamente em relação a u, tratando t como constante:
\frac{\partial}{\partial u}\big(t^{2}u^{2}\big)=2u t^{2},
\frac{\partial}{\partial u}\big(2t^{2}\big)=0,
\frac{\partial}{\partial u}\big(2u^{2}\big)=4u,
\frac{\partial}{\partial u}\big(2tu\big)=2t.
Somando:
\frac{\partial w}{\partial u}=2u t^{2} + 4u + 2t,
que é igual à expressão obtida pela regra da cadeia no Passo 8 (lembre que 2u t^{2}=2t^{2}u e os termos somam da mesma forma).

Passo 13

Conclusão: os dois métodos (regra da cadeia e substituição direta seguida de diferenciação) coincidem, como deve acontecer. Os resultados finais são as expressões obtidas e confirmadas acima.

Resposta

\dfrac{\partial w}{\partial t}=2t u^{2}+4t+2u
\dfrac{\partial w}{\partial u}=2t^{2}u+2t+4u

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