Calcule
pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.
Passo 1
O enunciado dá a função composta e pede as derivadas parciais em relação a
e a
. Dados e perguntas claros:
Pede-se calcular
e
usando a regra da cadeia e depois conferir por substituição direta seguida de derivação parcial.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a regra da cadeia para funções compostas do tipo
onde
dependem de
e
. A regra da cadeia diz que, para derivar
em relação a
mantendo
fixo, somamos as contribuições de cada variável intermediária:
Analogamente, para derivar em relação a
:
O que isso significa intuitivamente: a variação de
quando eu mudo
vem de quanto
muda se
muda vezes quanto
muda quando eu mexo
, somado ao mesmo para
e
. Cada termo é um efeito "via
", "via
" e "via
".
Passo 3
Calculemos primeiro as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis
. Como
, aplicando as regras básicas de derivação:
Explicação rápida: a derivada de
em relação a
é
; a de
em relação a
é
; e
é linear em
, então deriva para
.
Passo 4
Agora as derivadas parciais de
em relação a
e
, usando
:
Explicação: por exemplo,
é produto; ao derivar em relação a
tratamos
como constante, então sobra
.
Passo 5
Aplique a regra da cadeia para
usando as derivadas calculadas:
Substituindo
e
, obtemos
Explicação: cada termo foi escrito passo a passo substituindo os fatores.
Passo 6
Agora substituímos
e
na expressão anterior para ficar em termos de
e
:
primeiro .
Depois .
Somando com temos
primeiro
Depois
Somando com
Podemos também escrever fatorado:
Passo 7
Agora a regra da cadeia para
:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 8
Substituindo
e
na expressão de
:
primeiro .
Depois .
Somando com temos
primeiro
Depois
Somando com
Ou fatorado:
Passo 9
Agora vamos verificar por substituição direta: escrevemos
já em função de
e
. Substituindo
em
, temos
Passo 10
Expandindo e simplificando
termo a termo:
Somando tudo:
Passo 11
Agora derivamos
diretamente em relação a
, tratando
como constante e derivando termo a termo:
Somando:
que coincide com o resultado obtido pela regra da cadeia no Passo 6.
Passo 12
Agora derivamos
diretamente em relação a
, tratando
como constante:
Somando:
que é igual à expressão obtida pela regra da cadeia no Passo 8 (lembre que
e os termos somam da mesma forma).
Passo 13
Conclusão: os dois métodos (regra da cadeia e substituição direta seguida de diferenciação) coincidem, como deve acontecer. Os resultados finais são as expressões obtidas e confirmadas acima.