Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal ao gráfico de cada uma das funções abaixo no ponto indicado:
, no ponto (
).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
no ponto
:
- A equação do plano tangente ao gráfico de
naquele ponto. - A equação da reta normal ao gráfico de
passando por esse ponto.
Informações dadas e que vamos usar:
Passo 2
Entendendo o que é o plano tangente e como encontrá-lo (aula rápida e intuitiva):
- O gráfico de
é a superfície dada por . - O plano tangente em
é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. A fórmula padrão (linearização) é
onde
e
são as derivadas parciais de
.
Explicando as derivadas parciais: é a taxa de variação de
quando eu mexo só em
(fixando
), e
é a taxa de variação quando mexo só em
(fixando
). Essas duas inclinações determinam a orientação do plano tangente.
Explicando as derivadas parciais:
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(passo a passo das regras usadas):
- Para
: trate como constante (porque derivamos em relação a ). A derivada de é . Logo
- Para
: trate como constante. A derivada de em relação a é . Logo
Passo 4
Avaliar
e as derivadas no ponto
:
- Primeiro,
. Como ,
o que coincide com
do ponto dado
.
- Agora as parciais:
Passo 5
Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da linearização e os valores calculados:
Substituindo
,
e
, obtemos
ou seja
Observação didática: aqui a inclinação na direção
é zero (
), então o plano é independente de
— ele “não inclina” ao longo de
, só ao longo de
.
Passo 6
Encontrar a reta normal ao gráfico e sua equação paramétrica (explicando por que escolhemos esse vetor direção):
- Uma forma conveniente de obter um vetor normal à superfície
Observação: não dá para escrever a forma simétrica completa (\dfrac{x-3}{0}=\cdots] porque o primeiro componente do vetor direção é zero; por isso a forma paramétrica é a mais clara aqui.]
Passo 7
Verificação rápida (checar coerência):
- Produto escalar do vetor normal
com um vetor qualquer da forma dá
Pôr isso igual a zero recupera exatamente
, confirmação de que o vetor
é normal ao plano obtido.