Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal ao gráfico de cada uma das funções abaixo no ponto indicado:
f(x, y)=e^{x} \ln y, no ponto ( 3,1,0 ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função \,f(x,y)=e^{x}\ln y\, no ponto \,(3,1,0)\,:
  1. A equação do plano tangente ao gráfico de f naquele ponto.
  2. A equação da reta normal ao gráfico de f passando por esse ponto.
Informações dadas e que vamos usar:
f(x,y)=e^{x}\ln y,\qquad\text{o ponto sobre o gráfico:}\quad (x_0,y_0,z_0)=(3,1,0).á

Passo 2

Entendendo o que é o plano tangente e como encontrá-lo (aula rápida e intuitiva):
  • O gráfico de f é a superfície dada por z=f(x,y).
  • O plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é a melhor aproximação linear da superfície perto desse ponto. A fórmula padrão (linearização) é
z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0),
onde f_x e f_y são as derivadas parciais de f.
Explicando as derivadas parciais: f_x(x_0,y_0) é a taxa de variação de f quando eu mexo só em x (fixando y), e f_y(x_0,y_0) é a taxa de variação quando mexo só em y (fixando x). Essas duas inclinações determinam a orientação do plano tangente.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x}\ln y (passo a passo das regras usadas):
  • Para \,f_x: trate \ln y como constante (porque derivamos em relação a x). A derivada de e^{x} é e^{x}. Logo
f_x(x,y)=e^{x}\ln y.
  • Para \,f_y: trate e^{x} como constante. A derivada de \ln y em relação a y é \tfrac{1}{y}. Logo
f_y(x,y)=e^{x}\cdot\frac{1}{y}=\frac{e^{x}}{y}.

Passo 4

Avaliar f e as derivadas no ponto (x_0,y_0)=(3,1):
  • Primeiro, f(3,1)=e^{3}\ln 1. Como \ln 1=0,
f(3,1)=0,
o que coincide com z_0=0 do ponto dado (3,1,0).
  • Agora as parciais:
f_x(3,1)=e^{3}\ln 1 = e^{3}\cdot 0 = 0,
f_y(3,1)=\frac{e^{3}}{1}=e^{3}.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente usando a fórmula da linearização e os valores calculados:
z = f(3,1) + f_x(3,1)\,(x-3) + f_y(3,1)\,(y-1).
Substituindo f(3,1)=0, f_x(3,1)=0 e f_y(3,1)=e^{3}, obtemos
z = 0 + 0\cdot (x-3) + e^{3}\,(y-1),
ou seja
z = e^{3}(y-1).
Observação didática: aqui a inclinação na direção x é zero ( f_x=0), então o plano é independente de x — ele “não inclina” ao longo de x, só ao longo de y.

Passo 6

Encontrar a reta normal ao gráfico e sua equação paramétrica (explicando por que escolhemos esse vetor direção):
  • Uma forma conveniente de obter um vetor normal à superfície z=f(x,y)\) é considerar a função \(F(x,y,z)=f(x,y)-z\). O vetor gradiente \(\nabla F=(f_x,f_y,-1)\) é normal à superfície. - No ponto dado, \(\nabla F(3,1,0)=(f_x(3,1),\,f_y(3,1),\,-1)=(0,\,e^{3},\,-1)\). - A reta normal passando por \((3,1,0)\) com direção \((0,e^{3},-1)\) tem equação paramétrica (usando parâmetro \(t\)): \[\begin{cases} x(t)=3 + 0\cdot t = 3,\\[4pt] y(t)=1 + e^{3}\,t,\\[4pt] z(t)=0 - 1\cdot t = -t. \end{cases}
Observação: não dá para escrever a forma simétrica completa (\dfrac{x-3}{0}=\cdots] porque o primeiro componente do vetor direção é zero; por isso a forma paramétrica é a mais clara aqui.]

Passo 7

Verificação rápida (checar coerência):
  • Produto escalar do vetor normal (0,e^{3},-1) com um vetor qualquer da forma (x-3,y-1,z-0)
0\cdot(x-3) + e^{3}\cdot(y-1) -1\cdot z = e^{3}(y-1)-z.
Pôr isso igual a zero recupera exatamente z=e^{3}(y-1), confirmação de que o vetor (0,e^{3},-1) é normal ao plano obtido.

Resposta

z = e^{3}(y-1)
\displaystyle x=3,\quad y=1+e^{3}t,\quad z=-t

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