Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
f(x)=2 \cos \left(\frac{x}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada f'(x) da função dada. Informações fornecidas:
f(x)=2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Não há restrição explícita de domínio, então consideramos x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
\text{(a) Derivada de uma constante multiplicando uma função: } (k\cdot g(x))' = k\cdot g'(x),çã
onde k é uma constante e g é uma função de x. Isso significa que podemos “puxar” a constante para fora da derivada.
\text{(b) Derivada da função cosseno (regra básica): } \frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u',çãá
onde u=u(x) é uma função de x e u' é a derivada de u. Essa é a chamada regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa ( \cos vira -\sin) e depois multiplicamos pela derivada da parte interna u(x).
Vou explicar a regra da cadeia com calma: se você tem uma função composta h(x)=G(U(x)), a variação de h quando x muda é a variação da função externa G em relação à sua entrada multiplicada pela variação da entrada U em relação a x. Por isso aparece o produto (G'(U(x)))\cdot U'(x).

Passo 3

Identificamos a função externa e a função interna na nossa f(x):
\text{externa: } G(t)=\cos(t),\qquad \text{interna: } u(x)=\frac{x}{2}.
Agora calculamos a derivada da parte interna u(x). Como u(x) é uma função linear,
u(x)=\frac{x}{2} = \frac{1}{2}x,
e a derivada de x é 1. Portanto
u'(x)=\frac{1}{2}.
Explicando: derivada de a x (com a constante) é a.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia à função g(x)=\cos(u(x)). Pela fórmula:
\frac{d}{dx}\cos\!\left(u(x)\right) = -\sin\!\left(u(x)\right)\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=\frac{x}{2} e u'(x)=\frac{1}{2}, obtemos
\frac{d}{dx}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) = -\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}.

Passo 5

Agora lembramos a propriedade da constante multiplicativa do Passo 2: f(x)=2\cdot \cos\!\left(\frac{x}{2}\right). Então
f'(x)=2\cdot \frac{d}{dx}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo a derivada encontrada no passo anterior:
f'(x)=2\cdot\left(-\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\right).

Passo 6

Simplificamos o produto: o 2 multiplicando \frac{1}{2} cancela, restando
f'(x) = -\sin\!\left(\frac{x}{2}\right).
Pronto — essa é a expressão final da derivada. Vamos fazer uma checagem numérica rápida para ficar mais tranquilo: se x=0, então f(x)=2\cos(0)=2 e f'(0)=-\sin(0)=0. Faz sentido: a função tem máximo em x=0 e derivada zero ali.

Resposta

f'(x)=-\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)

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