Ache a derivada (
) das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função dada. Informações fornecidas:
Não há restrição explícita de domínio, então consideramos
.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
onde
é uma constante e
é uma função de
. Isso significa que podemos “puxar” a constante para fora da derivada.
onde
é uma função de
e
é a derivada de
. Essa é a chamada regra da cadeia: primeiro derivamos a função externa (
vira
) e depois multiplicamos pela derivada da parte interna
.
Vou explicar a regra da cadeia com calma: se você tem uma função composta
, a variação de
quando
muda é a variação da função externa
em relação à sua entrada multiplicada pela variação da entrada
em relação a
. Por isso aparece o produto
.
Passo 3
Identificamos a função externa e a função interna na nossa
:
Agora calculamos a derivada da parte interna
. Como
é uma função linear,
e a derivada de
é
. Portanto
Explicando: derivada de
(com
constante) é
.
Passo 4
Aplicamos a regra da cadeia à função
. Pela fórmula:
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Agora lembramos a propriedade da constante multiplicativa do Passo 2:
. Então
Substituindo a derivada encontrada no passo anterior:
Passo 6
Simplificamos o produto: o
multiplicando
cancela, restando
Pronto — essa é a expressão final da derivada. Vamos fazer uma checagem numérica rápida para ficar mais tranquilo: se
, então
e
. Faz sentido: a função tem máximo em
e derivada zero ali.