Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
f(x)=\sin ^{2}(\sqrt{x})+\cos ^{2}(\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\sin^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)+\cos^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função está escrita como soma de dois termos dependentes de \sqrt{x}.
  • A raiz quadrada exige que consideremos o domínio \;x\ge 0.
  • A pergunta é: encontrar f^{\prime}(x) para os pontos do domínio.

Passo 2

Uma observação muito útil (e simples) é a identidade trigonométrica clássica, que vale para qualquer argumento:
\sin^{2}(u)+\cos^{2}(u)=1.
Aqui o argumento é u=\sqrt{x}, que é um valor qualquer (desde que bem definido). Aplicando essa identidade à nossa função temos, para todo x em que \sqrt{x} faz sentido,
f(x)=\sin^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)+\cos^{2}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=1.
Ou seja: a função f é simplesmente a constante 1 em todo o domínio \;x\ge 0.

Passo 3

Agora um lembrete sobre derivadas: a derivada de uma constante é zero. Explicando de modo bem direto usando a definição:
se g(x)=c para toda x, então
g'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{c-c}{h}=0.
Aplicando isso aqui, como f(x)=1 constante, segue que
f'(x)=0
para todo x do domínio.

Passo 4

Para reforçar e mostrar outra forma de ver que dá zero (útil na prova caso você não perceba a identidade de imediato), fazemos a diferenciação direta usando regra da soma e regra da cadeia. Defina u=\sqrt{x}. Então cada termo tem a forma \sin^{2}(u) ou \cos^{2}(u).
Regra da cadeia (explicada): se temos h(x)=F(G(x)), a derivada é h'(x)=F'(G(x))\cdot G'(x). No nosso caso F(t)=t^{2} aplicado a t=\sin(u) ou t=\cos(u), e u=\sqrt{x}.
Diferenciando termo a termo, sem ainda substituir u'(x):
  • Para \sin^{2}(u):
\frac{d}{dx}\sin^{2}(u)=2\sin(u)\cdot\frac{d}{dx}\sin(u)=2\sin(u)\cos(u)\cdot u'(x).
  • Para \cos^{2}(u):
\frac{d}{dx}\cos^{2}(u)=2\cos(u)\cdot\frac{d}{dx}\cos(u)=2\cos(u)\cdot(-\sin(u))\cdot u'(x)=-2\sin(u)\cos(u)\cdot u'(x).
Somando as duas derivadas obtemos
f'(x)=\bigl(2\sin(u)\cos(u)\cdot u'(x)\bigr)+\bigl(-2\sin(u)\cos(u)\cdot u'(x)\bigr)=0.
A cancelamento acontece antes mesmo de precisarmos do valor de u'(x). Portanto a derivada é zero (para x>0, onde u'(x) está classically definida); isso confirma o resultado do passo anterior.

Passo 5

Comentário sobre o ponto x=0: a função está definida em x=0 (porque \sqrt{0}=0 e \sin^{2}0+\cos^{2}0=1). A derivada no ponto extremo do domínio é dada pela derivada lateral direita; usando a expressão constante temos a derivada lateral igual a 0. Logo f'(0)=0 também. Conclusão global: f' é identicamente zero em todo o domínio \;x\ge 0.

Resposta

f'(x)=0 para x\ge 0

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