Ache a derivada (
) das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas e observações imediatas:
- A função está escrita como soma de dois termos dependentes de
. - A raiz quadrada exige que consideremos o domínio
. - A pergunta é: encontrar
para os pontos do domínio.
Passo 2
Uma observação muito útil (e simples) é a identidade trigonométrica clássica, que vale para qualquer argumento:
Aqui o argumento é
, que é um valor qualquer (desde que bem definido). Aplicando essa identidade à nossa função temos, para todo
em que
faz sentido,
Ou seja: a função
é simplesmente a constante
em todo o domínio
.
Passo 3
Agora um lembrete sobre derivadas: a derivada de uma constante é zero. Explicando de modo bem direto usando a definição:
se para toda
, então
se
Aplicando isso aqui, como
constante, segue que
para todo
do domínio.
Passo 4
Para reforçar e mostrar outra forma de ver que dá zero (útil na prova caso você não perceba a identidade de imediato), fazemos a diferenciação direta usando regra da soma e regra da cadeia. Defina
. Então cada termo tem a forma
ou
.
Regra da cadeia (explicada): se temos
, a derivada é
. No nosso caso
aplicado a
ou
, e
.
Diferenciando termo a termo, sem ainda substituir
:
- Para
:
- Para
:
Somando as duas derivadas obtemos
A cancelamento acontece antes mesmo de precisarmos do valor de
. Portanto a derivada é zero (para
, onde
está classically definida); isso confirma o resultado do passo anterior.
Passo 5
Comentário sobre o ponto
: a função está definida em
(porque
e
). A derivada no ponto extremo do domínio é dada pela derivada lateral direita; usando a expressão constante temos a derivada lateral igual a
. Logo
também. Conclusão global:
é identicamente zero em todo o domínio
.