Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
f(x)=\csc \left(x^{3}+5 x\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada f'(x) da função
f(x)=\csc\!\bigl(x^{3}+5x\bigr).
Informações dadas:
  • A função externa é a função cosecante \csc(\cdot).
  • O argumento (função interna) é u(x)=x^{3}+5x.
    A tarefa é calcular a derivada de f em função de x, passo a passo.

Passo 2

Vamos lembrar e demonstrar a fórmula da derivada de \csc(u) em termos de u e u'.
Primeiro, escrevemos \csc(u) como recíproco de seno:
\csc(u) = \frac{1}{\sin(u)} = \bigl(\sin(u)\bigr)^{-1}.
Agora derivamos usando a regra da cadeia aplicada à potência v^{-1} (onde v=\sin(u)): a derivada de v^{-1} em relação a x é -v^{-2}\cdot v'. Portanto,
\frac{d}{dx}\csc(u) = \frac{d}{dx}\bigl(\sin(u)\bigr)^{-1} = -\bigl(\sin(u)\bigr)^{-2}\cdot \frac{d}{dx}\sin(u).
A derivada de \sin(u) por cadeia é \cos(u)\cdot u'. Substituindo:
\frac{d}{dx}\csc(u) = -\bigl(\sin(u)\bigr)^{-2}\cdot \bigl(\cos(u)\cdot u'\bigr).
Agora usamos as identidades trigonométricas \cot(u)=\dfrac{\cos(u)}{\sin(u)} e \csc(u)=\dfrac{1}{\sin(u)}. Reescrevendo,
-\bigl(\sin(u)\bigr)^{-2}\cos(u)\,u' = -\bigl(\frac{\cos(u)}{\sin(u)}\bigr)\bigl(\frac{1}{\sin(u)}\bigr)u' = -\cot(u)\,\csc(u)\,u'.
Conclusão importante (fórmula pronta): para qualquer função u(x),
\frac{d}{dx}\csc\bigl(u(x)\bigr) = -\csc\bigl(u(x)\bigr)\cot\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função interna u(x).

Passo 3

Agora calculemos a derivada da função interna u(x)=x^{3}+5x.
Usamos a regra do poder (power rule): a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. E a derivada de a x (com a constante) é a.
Aplicando termo a termo:
u(x)=x^{3}+5x \quad\Rightarrow\quad u'(x)=3x^{2}+5.
Expliquei: a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a derivada de 5x é 5, então somando obtemos 3x^{2}+5.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da derivada de \csc(u(x)) obtida no Passo 2, substituindo u(x)=x^{3}+5x e u'(x)=3x^{2}+5.
Pela fórmula:
f'(x)= -\csc\bigl(u(x)\bigr)\cot\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Substituindo u(x) e u'(x),
f'(x)= -\csc\!\bigl(x^{3}+5x\bigr)\,\cot\!\bigl(x^{3}+5x\bigr)\,\bigl(3x^{2}+5\bigr).

Passo 5

Organizando e explicando a forma final: podemos escrever o fator \bigl(3x^{2}+5\bigr) à esquerda ou à direita; é comum puxá-lo na frente como fator multiplicativo. Assim uma forma limpa é
f'(x)= -\bigl(3x^{2}+5\bigr)\,\csc\!\bigl(x^{3}+5x\bigr)\,\cot\!\bigl(x^{3}+5x\bigr).
Isso é exatamente a aplicação da regra da cadeia: derivada da externa ( -\csc\cdot\cot avaliada em u) vezes derivada da interna ( 3x^{2}+5).

Resposta

f'(x)=-\bigl(3x^{2}+5\bigr)\,\csc\!\bigl(x^{3}+5x\bigr)\,\cot\!\bigl(x^{3}+5x\bigr)

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