Ache a derivada (
) das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada
da função
Informações dadas:
- A função externa é a função cosecante
. - O argumento (função interna) é
.
A tarefa é calcular a derivada deem função de , passo a passo.
Passo 2
Vamos lembrar e demonstrar a fórmula da derivada de
em termos de
e
.
Primeiro, escrevemos
como recíproco de seno:
Agora derivamos usando a regra da cadeia aplicada à potência
(onde
): a derivada de
em relação a
é
. Portanto,
A derivada de
por cadeia é
. Substituindo:
Agora usamos as identidades trigonométricas
e
. Reescrevendo,
Conclusão importante (fórmula pronta): para qualquer função
,
Aqui
é a derivada da função interna
.
Passo 3
Agora calculemos a derivada da função interna
.
Usamos a regra do poder (power rule): a derivada de
é
. E a derivada de
(com
constante) é
.
Aplicando termo a termo:
Expliquei: a derivada de
é
e a derivada de
é
, então somando obtemos
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da derivada de
obtida no Passo 2, substituindo
e
.
Pela fórmula:
Substituindo
e
,
Passo 5
Organizando e explicando a forma final: podemos escrever o fator
à esquerda ou à direita; é comum puxá-lo na frente como fator multiplicativo. Assim uma forma limpa é
Isso é exatamente a aplicação da regra da cadeia: derivada da externa (
avaliada em
) vezes derivada da interna (
).