Ache a derivada (
) das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações dadas relevantes: a função é composta — dentro do
está
. Observação importante que vem do enunciado:
não está definida em
, portanto a função e sua derivada só fazem sentido para
.
Passo 2
Estratégia matemática básica que vamos usar: a regra da cadeia (chain rule). Ela diz que, se temos uma composição
, então a derivada é
Explicando: pense em
como a parte interior (o “argumento”) e em
como a função exterior aplicada a esse argumento; para derivar a composição, derivamos a função exterior em relação ao seu argumento
e multiplicamos pela derivada do argumento
.
Passo 3
Identificamos aqui as funções interior e exterior:
Agora precisamos de
e de
.
Passo 4
Derivada da função exterior
.
Uma forma didática de ver isso é escrever e aplicar a regra do quociente. Fazendo isso:
Uma forma didática de ver isso é escrever
Usando a notação trigonométrica,
. Logo
Explicando em palavras: a derivada do
é
do argumento.
Passo 5
Derivada da função interior
. Aplicamos a regra do poder (power rule): para qualquer expoente real
,
Aqui
, então
Explicação: o expoente desce multiplicando e depois diminuímos 1 do expoente.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia com os resultados obtidos:
Fazendo uma simplificação algébrica:
Alternativamente, podemos escrever usando cosseno:
Passo 7
Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: se tivéssemos
, pela mesma ideia
. É a mesma estrutura: derivada do
aplicada ao argumento, vezes a derivada do argumento.