Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
f(x)=\tan \left(\frac{1}{x^{2}}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=\tan\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações dadas relevantes: a função é composta — dentro do \tan está \frac{1}{x^{2}}. Observação importante que vem do enunciado: \frac{1}{x^{2}} não está definida em x=0, portanto a função e sua derivada só fazem sentido para x\neq 0.

Passo 2

Estratégia matemática básica que vamos usar: a regra da cadeia (chain rule). Ela diz que, se temos uma composição F(G(x)), então a derivada é
\big(F\circ G\big)'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x).
Explicando: pense em G(x) como a parte interior (o “argumento”) e em F(u) como a função exterior aplicada a esse argumento; para derivar a composição, derivamos a função exterior em relação ao seu argumento u e multiplicamos pela derivada do argumento G'(x).

Passo 3

Identificamos aqui as funções interior e exterior:
\text{função exterior: }F(u)=\tan(u),çã
\text{função interior: }G(x)=\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.çã
Agora precisamos de F'(u) e de G'(x).

Passo 4

Derivada da função exterior F(u)=\tan(u).
Uma forma didática de ver isso é escrever \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} e aplicar a regra do quociente. Fazendo isso:
\frac{d}{du}\tan u=\frac{\cos u\cdot\cos u - (\sin u)\cdot(-\sin u)}{\cos^{2}u} =\frac{\cos^{2}u+\sin^{2}u}{\cos^{2}u}=\frac{1}{\cos^{2}u}.
Usando a notação trigonométrica, \dfrac{1}{\cos^{2}u}=\operatorname{sec}^{2}u. Logo
F'(u)=\operatorname{sec}^{2}u.
Explicando em palavras: a derivada do \tan é \operatorname{sec}^{2} do argumento.

Passo 5

Derivada da função interior G(x)=x^{-2}. Aplicamos a regra do poder (power rule): para qualquer expoente real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Aqui n=-2, então
G'(x)=\frac{d}{dx}x^{-2}=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Explicação: o expoente desce multiplicando e depois diminuímos 1 do expoente.

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia com os resultados obtidos:
f'(x)=F'\big(G(x)\big)\cdot G'(x)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\cdot\left(-\frac{2}{x^{3}}\right).
Fazendo uma simplificação algébrica:
f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Alternativamente, podemos escrever usando cosseno:
f'(x)=-\frac{2}{x^{3}\cos^{2}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\!}.

Passo 7

Pequeno exemplo extra para fixar a ideia: se tivéssemos h(x)=\tan(x^{5}), pela mesma ideia h'(x)=\operatorname{sec}^{2}(x^{5})\cdot 5x^{4}=5x^{4}\operatorname{sec}^{2}(x^{5}). É a mesma estrutura: derivada do \tan aplicada ao argumento, vezes a derivada do argumento.

Resposta

f'(x)=-\frac{2}{x^{3}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)

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