Ache a derivada (
) das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função
Informações dadas:
é a única informação necessária. A tarefa é calcular a derivada
, isto é, a taxa de variação de
em relação a
.
Passo 2
Identificar as “camadas” da função (isso ajuda a escolher o método). Aqui a função é composta: primeiro aplicamos a raiz quadrada em
, depois aplicamos o seno. Então podemos ver
como uma composição
onde
Não resolvemos ainda; só identificamos que há uma função exterior
e uma função interior
.
Passo 3
Explicar a regra que vamos usar (cadeia) e por quê. Quando temos uma função composta
, a derivada é dada pela Regra da Cadeia:
O que isso diz em palavras: derivamos a função externa em relação ao argumento interno (substituindo o argumento por
) e multiplicamos pela derivada da função interna. Aqui a escolha é natural porque
é exatamente uma composição
(externa) de
(interna).
Passo 4
Derivar a função externa e interpretar cada símbolo. A função externa é
(troquei o argumento por
para ficar claro). A derivada de
em relação ao seu argumento é
Isto significa: se
, então quando aplicamos a regra da cadeia teremos um fator
no resultado. Aqui
é só um nome para o argumento; quando voltarmos a
usaremos
.
Passo 5
Derivar a função interna
. Primeiro reescrevemos a raiz usando a potência:
Aplicando a regra da potência (se
então
), obtemos
Explicando esse passo: pegamos o expoente
, multiplicamos por
. Para escrever de forma mais familiar, usamos
, então
Observe que essa expressão só faz sentido para
(pois
no denominador exige
; em
a derivada da raiz como potência é singular).
Passo 6
Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados dos passos anteriores. Usando
substituímos
e
. Isso dá
Passo 7
Simplificar a expressão final e comentar sobre o domínio do resultado. A forma mais limpa é
Lembrete importante: esta forma está válida para
. Em
a expressão tem o denominador nulo; para decidir se a derivada existe em
seria preciso verificar o limite do diferencial (pelo cálculo direto do limite), mas tipicamente dizemos que a fórmula acima é válida para
.