Ache a derivada ( f^{\prime}(x) ) das seguintes funções:
f(x)=\sin (\sqrt{x})

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada f'(x) da função
f(x)=\sin(\sqrt{x}).
Informações dadas:
f(x)=\sin(\sqrt{x})
é a única informação necessária. A tarefa é calcular a derivada f'(x), isto é, a taxa de variação de f em relação a x.

Passo 2

Identificar as “camadas” da função (isso ajuda a escolher o método). Aqui a função é composta: primeiro aplicamos a raiz quadrada em x, depois aplicamos o seno. Então podemos ver f como uma composição f(x)=\sin(u(x)) onde
u(x)=\sqrt{x}.
Não resolvemos ainda; só identificamos que há uma função exterior \sin(\cdot) e uma função interior u(x)=\sqrt{x}.

Passo 3

Explicar a regra que vamos usar (cadeia) e por quê. Quando temos uma função composta f(x)=g(u(x)), a derivada é dada pela Regra da Cadeia:
\frac{d}{dx}g(u(x))=g'(u(x))\cdot u'(x).
O que isso diz em palavras: derivamos a função externa em relação ao argumento interno (substituindo o argumento por u(x)) e multiplicamos pela derivada da função interna. Aqui a escolha é natural porque f é exatamente uma composição \sin (externa) de \sqrt{\cdot} (interna).

Passo 4

Derivar a função externa e interpretar cada símbolo. A função externa é g(t)=\sin(t) (troquei o argumento por t para ficar claro). A derivada de \sin em relação ao seu argumento é
g'(t)=\cos(t).
Isto significa: se g(t)=\sin(t), então quando aplicamos a regra da cadeia teremos um fator \cos(u(x)) no resultado. Aqui t é só um nome para o argumento; quando voltarmos a x usaremos u(x).

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=\sqrt{x}. Primeiro reescrevemos a raiz usando a potência:
u(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
Aplicando a regra da potência (se h(x)=x^{n} então h'(x)=n x^{n-1}), obtemos
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Explicando esse passo: pegamos o expoente n=\tfrac{1}{2}, multiplicamos por x^{n-1}=x^{-1/2}. Para escrever de forma mais familiar, usamos x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}, então
u'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observe que essa expressão só faz sentido para x>0 (pois \sqrt{x} no denominador exige x\neq 0; em x=0 a derivada da raiz como potência é singular).

Passo 6

Aplicar a Regra da Cadeia juntando os resultados dos passos anteriores. Usando
\frac{d}{dx}\sin(u(x))=\cos(u(x))\cdot u'(x),
substituímos u(x)=\sqrt{x} e u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Isso dá
f'(x)=\cos(\sqrt{x})\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 7

Simplificar a expressão final e comentar sobre o domínio do resultado. A forma mais limpa é
f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}.
Lembrete importante: esta forma está válida para x>0. Em x=0 a expressão tem o denominador nulo; para decidir se a derivada existe em x=0 seria preciso verificar o limite do diferencial (pelo cálculo direto do limite), mas tipicamente dizemos que a fórmula acima é válida para x>0.

Resposta

f'(x)=\frac{\cos(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}

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