Ache a derivada \frac{d y}{d x} da função dada:
y(x)=e^{\pi}+x^{7}

Passo 1

O enunciado dá a função \,y(x)=e^{\pi}+x^{7}\, e pede para achar \,\dfrac{d y}{d x}\,.
Informações relevantes:
  • \,e^{\pi}\, é um número fixo (pois \pi é uma constante), ou seja, é uma constante em relação a x.
  • \,x^{7}\, é uma função de x do tipo potência.
    A pergunta é: qual é a derivada \,\dfrac{d y}{d x}\, dessa função?

Passo 2

Regra útil (linearidade da derivada): a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=\frac{d}{dx}u(x)+\frac{d}{dx}v(x).
Aqui podemos aplicar essa regra a u(x)=e^{\pi} e v(x)=x^{7}.

Passo 3

Derivada de uma constante: se c é constante (não depende de x), então
\frac{d}{dx}c=0.
Pequena justificativa direta: pela definição de derivada,
\frac{d}{dx}c=\lim_{h\to0}\frac{c-\text{(c)}}{h}=\lim_{h\to0}0=0.
Como \,e^{\pi}\, é uma constante, sua derivada em relação a x é 0.

Passo 4

Aplicando o passo anterior ao termo constante do nosso problema:
\frac{d}{dx}\big(e^{\pi}\big)=0.

Passo 5

Regra da potência (power rule): para um inteiro positivo n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Intuição rápida: expandindo (x+h)^{n} pela binomial e aplicando o quociente das diferenças, o termo dominante em h n x^{n-1} quando h\to0. Exemplo simples: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Aplicando ao nosso caso com n=7:
\frac{d}{dx}\big(x^{7}\big)=7x^{6}.

Passo 6

Usando a linearidade (Passo 2) e os resultados dos Passos 4 e 5, a derivada da soma é a soma das derivadas:
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{dx}\big(e^{\pi}\big)+\frac{d}{dx}\big(x^{7}\big)=0+7x^{6}.

Resposta

7x^{6}

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