Ache a derivada \frac{d y}{d x} da função dada:
y(x)=\frac{x^{2}+1}{3 x-2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{d y}{d x} da função dada.
Informações fornecidas:
y(x)=\frac{x^{2}+1}{3x-2}.
Observações úteis do enunciado: o denominador fica zero em x=\dfrac{2}{3}, então a função não está definida nesse ponto (isso é só para lembrar o domínio).

Passo 2

Escolha do método: uma forma direta é reescrever a função como produto e usar a regra do produto + regra da cadeia. Alternativamente, poderíamos aplicar a regra do quociente diretamente; as duas dão o mesmo resultado. Vou usar produto + cadeia para explicar bem os passos e mostrar as regras.

Passo 3

Reescrevo y como produto, transformando o denominador em potência negativa:
y=(x^{2}+1)\,(3x-2)^{-1}.
Aqui identifico duas funções que vou multiplicar:
f(x)=x^{2}+1,\qquad g(x)=(3x-2)^{-1}.

Passo 4

Apresento a regra do produto e explico:
A regra do produto diz que, para duas funções f(x) e g(x),
\big(fg\big)'=f'\,g+f\,g'.
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some com a primeira multiplicada pela derivada da segunda.

Passo 5

Calculo f'(x). Como f(x)=x^{2}+1, aplicando a regra básica da potência:
f'(x)=2x.
Agora preciso de g'(x). Como g(x)=(3x-2)^{-1}, aplico a regra da cadeia: se h(u)=u^{-1} então h'(u)=-u^{-2}, e se u(x)=3x-2 então u'(x)=3. Portanto
g'(x)=\big((3x-2)^{-1}\big)' = -1\cdot(3x-2)^{-2}\cdot(3) = -3(3x-2)^{-2}.
Aqui expliquei: derive a potência externa e multiplique pela derivada da expressão interna 3x-2.

Passo 6

Aplico a regra do produto com os f, g e suas derivadas:
y' = f'(x)\,g(x) + f(x)\,g'(x).
Substituindo:
y' = (2x)\,(3x-2)^{-1} + (x^{2}+1)\,\big(-3(3x-2)^{-2}\big).

Passo 7

Agora vou juntar os termos num único quociente para simplificar. Coloco fator comum (3x-2)^{-2}:
y' = \big[(2x)(3x-2) - 3(x^{2}+1)\big]\,(3x-2)^{-2}.
Explico: multiplique o primeiro termo por \dfrac{3x-2}{3x-2} para escrever com denominador comum (3x-2)^{2}; isso é equivalente a fatorar (3x-2)^{-2}.

Passo 8

Faço as contas no numerador:
(2x)(3x-2) - 3(x^{2}+1) = 6x^{2}-4x -3x^{2}-3 = 3x^{2}-4x-3.
Logo
y' = \frac{3x^{2}-4x-3}{(3x-2)^{2}}.

Passo 9

Breve verificação (opcional): aplicando a regra do quociente diretamente — para \dfrac{u}{v} temos \big(\dfrac{u}{v}\big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}} — com u=x^{2}+1 e v=3x-2 dá exatamente o mesmo numerador 2x(3x-2)- (x^{2}+1)\cdot 3 = 3x^{2}-4x-3. Portanto o resultado está consistente.

Resposta

\frac{3x^{2}-4x-3}{(3x-2)^{2}}

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