Ache a derivada
da função dada:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função dada.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Observações úteis do enunciado: o denominador fica zero em
, então a função não está definida nesse ponto (isso é só para lembrar o domínio).
Passo 2
Escolha do método: uma forma direta é reescrever a função como produto e usar a regra do produto + regra da cadeia. Alternativamente, poderíamos aplicar a regra do quociente diretamente; as duas dão o mesmo resultado. Vou usar produto + cadeia para explicar bem os passos e mostrar as regras.
Passo 3
Reescrevo
como produto, transformando o denominador em potência negativa:
Aqui identifico duas funções que vou multiplicar:
Passo 4
Apresento a regra do produto e explico:
A regra do produto diz que, para duas funções e
,
A regra do produto diz que, para duas funções
Isto significa: derive a primeira e multiplique pela segunda, depois some com a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Passo 5
Calculo
. Como
, aplicando a regra básica da potência:
Agora preciso de
. Como
, aplico a regra da cadeia: se
então
, e se
então
. Portanto
Aqui expliquei: derive a potência externa e multiplique pela derivada da expressão interna
.
Passo 6
Aplico a regra do produto com os
,
e suas derivadas:
Substituindo:
Passo 7
Agora vou juntar os termos num único quociente para simplificar. Coloco fator comum
:
Explico: multiplique o primeiro termo por
para escrever com denominador comum
; isso é equivalente a fatorar
.
Passo 8
Faço as contas no numerador:
Logo
Passo 9
Breve verificação (opcional): aplicando a regra do quociente diretamente — para
temos
— com
e
dá exatamente o mesmo numerador
. Portanto o resultado está consistente.