Ache a derivada da função dada.
f(t)=\operatorname{sen} t \operatorname{tg} t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t)=\operatorname{sen} t\;\operatorname{tg} t.
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e as derivadas básicas das funções trigonométricas, a saber
\frac{d}{dt}[\operatorname{sen} t]=\cos t e \frac{d}{dt}[\operatorname{tg} t]=\operatorname{sec}^2 t.

Passo 2

Aplicando a regra do produto \bigl(uv\bigr)'=u'\,v+u\,v' com u=\operatorname{sen} t e v=\operatorname{tg} t, temos
f'(t) =(\operatorname{sen} t)'\,\operatorname{tg} t+\operatorname{sen} t\,(\operatorname{tg} t)' =\cos t\;\operatorname{tg} t+\operatorname{sen} t\;\operatorname{sec}^2 t.

Passo 3

Agora vemos que
\cos t\;\operatorname{tg} t =\cos t\;\frac{\operatorname{sen} t}{\cos t} =\operatorname{sen} t,
portanto
f'(t)=\operatorname{sen} t+\operatorname{sen} t\;\operatorname{sec}^2 t.

Passo 4

Para deixar num formato mais compacto, fatoramos \operatorname{sen} t:
f'(t) =\operatorname{sen} t\,(1+\operatorname{sec}^2 t).

Resposta

f'(t)=\operatorname{sen} t\bigl(1+\operatorname{sec}^2 t\bigr).

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