Questão 3. (2.0pt) Considere f(t)=e^{-t} u(t) e g(t)=f(t)-f(-t), onde u(\cdot) é a função degrau unitário. Assinale na primeira coluna a transformada de Fourier \mathcal{F}(f), e na segunda \mathcal{F}(g). Aqui i^{2}=-1.
( ) \frac{1}{1+w^{2}}
( ) \frac{2}{1+w^{2}}
( ) \frac{1-i w}{1+w^{2}}
( ) \frac{-2}{1+w^{2}}
( ) \frac{2-2 i w}{1+w^{2}}
( ) \frac{2 i w}{1+w^{2}}
( ) \frac{1+i w}{1+w^{2}}
( ) \frac{2-2 i w}{1+w^{2}}
( ) \frac{2+2 i w}{1+w^{2}}
( ) \frac{-2 i w}{1+w^{2}}
( ) nenhuma das anteriores
( ) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá
f(t)=e^{-t}u(t), \qquad g(t)=f(t)-f(-t),
e pede \mathcal{F}\{f\}(\omega) e \mathcal{F}\{g\}(\omega). Vamos usar a definição
\mathcal{F}\{h\}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t)e^{-i\omega t}\,dt
e a propriedade de reversão no tempo.

Passo 2

Para \mathcal{F}\{f\}(\omega) temos
\mathcal{F}\{f\}(\omega) =\int_{0}^{\infty}e^{-t}e^{-i\omega t}dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(1+i\omega)t}dt =\frac{1}{1+i\omega}.

Passo 3

Escrevendo em forma racional real,
\frac{1}{1+i\omega} =\frac{1-i\omega}{(1+i\omega)(1-i\omega)} =\frac{1-i\omega}{1+\omega^2}.

Passo 4

Pela propriedade de reversão no tempo,
\mathcal{F}\{f(-t)\}(\omega) =-\,\mathcal{F}\{f\}(-\omega) =-\frac{1}{1-i\omega}.

Passo 5

Como g(t)=f(t)-f(-t), pela linearidade
\mathcal{F}\{g\}(\omega) =\mathcal{F}\{f\}(\omega)-\mathcal{F}\{f(-t)\}(\omega) =\frac{1}{1+i\omega}+\frac{1}{1-i\omega}.

Passo 6

Somando as frações obtemos
\frac{1}{1+i\omega}+\frac{1}{1-i\omega} =\frac{(1-i\omega)+(1+i\omega)}{1+\omega^2} =\frac{2}{1+\omega^2}.

Resposta

\mathcal{F}\{f\}(\omega)=\dfrac{1-i\omega}{1+\omega^2}
\mathcal{F}\{g\}(\omega)=\dfrac{2}{1+\omega^2}

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