Ache a derivada da função dada.
h(y)=y^{3}-y^{2} \cos y+2 y \operatorname{sen} y+2 \cos y

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(y)=y^{3}-y^{2}\cos y+2y\operatorname{sen} y+2\cos y.
Vamos usar as regras de derivada de potência, de produto e as derivadas de \operatorname{sen} y e \cos y.

Passo 2

Derivada do primeiro termo y^{3} pela regra da potência \frac{d}{dy}y^{n}=n\,y^{n-1}:
\frac{d}{dy}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}.

Passo 3

Derivada do termo -y^{2}\cos y aplicando a regra do produto em u=y^{2} e v=\cos y:
u'=2y,\quad v'=-\operatorname{sen} y,
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\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}\cos y\bigr)=u'v+uv' =2y\cos y + y^{2}(-\operatorname{sen} y),
e por causa do sinal menos
\frac{d}{dy}\bigl(-y^{2}\cos y\bigr) =-2y\cos y + y^{2}\operatorname{sen} y.

Passo 4

Derivada de 2y\operatorname{sen} y também por produto com u=2y e v=\operatorname{sen} y:
u'=2,\quad v'=\cos y,
\frac{d}{dy}\bigl(2y\operatorname{sen} y\bigr) =2\operatorname{sen} y + 2y\cos y.

Passo 5

Derivada do termo 2\cos y: constante vezes \cos y, com \frac{d}{dy}\cos y=-\operatorname{sen} y:
\frac{d}{dy}\bigl(2\cos y\bigr)=-2\operatorname{sen} y.

Passo 6

Somando todas as partes:
h'(y) =3y^{2} +\bigl(-2y\cos y + y^{2}\operatorname{sen} y\bigr) +\bigl(2\operatorname{sen} y + 2y\cos y\bigr) -2\operatorname{sen} y.
Repare que -2y\cos y cancela com +2y\cos y e +2\operatorname{sen} y cancela com -2\operatorname{sen} y.

Passo 7

Fica então
h'(y)=3y^{2}+y^{2}\operatorname{sen} y =y^{2}\bigl(3+\operatorname{sen} y\bigr).

Resposta

h'(y)=y^{2}\bigl(3+\operatorname{sen} y\bigr).

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