Ache a derivada da função dada.
f(x)=x^{2} \cos x-2 x \operatorname{sen} x-2 \cos x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{2}\cos x \;-\;2x\operatorname{sen} x\;-\;2\cos x.
Aqui vamos usar a regra do produto para os dois primeiros termos e a derivada de \cos x para o último.

Passo 2

Derivando o primeiro termo x^{2}\cos x pela regra do produto \bigl(u(x)v(x)\bigr)'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\cos x\bigr) =2x\cos x + x^{2}\bigl(-\operatorname{sen} x\bigr) =2x\cos x - x^{2}\operatorname{sen} x.

Passo 3

Derivando o segundo termo -2x\operatorname{sen} x, também pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(-2x\operatorname{sen} x\bigr) =-2\bigl(\operatorname{sen} x + x\cos x\bigr) =-2\operatorname{sen} x \;-\;2x\cos x.

Passo 4

Derivando o terceiro termo -2\cos x:
\frac{d}{dx}\bigl(-2\cos x\bigr) =-2\bigl(-\operatorname{sen} x\bigr) =2\operatorname{sen} x.

Passo 5

Somando todas as partes:
f'(x) =\bigl(2x\cos x - x^{2}\operatorname{sen} x\bigr) +\bigl(-2\operatorname{sen} x -2x\cos x\bigr) +\bigl(2\operatorname{sen} x\bigr).
Observe que 2x\cos x cancela com -2x\cos x e -2\operatorname{sen} x cancela com 2\operatorname{sen} x. Resta apenas
f'(x)=-x^{2}\operatorname{sen} x.

Resposta

f'(x)=-x^{2}\operatorname{sen} x.

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