Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x, m ou n impar
4. \int \cos ^{498} y \sin ^{3} y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{498}y\,\sin^{3}y\,dy
usando a técnica de integrais trigonométricas quando um dos expoentes é ímpar. Aqui temos o expoente de \sin y igual a 3, que é ímpar.

Passo 2

Separe uma fator de \sin y de \sin^{3}y e use a identidade \sin^{2}y=1-\cos^{2}y:
\sin^{3}y = \sin^{2}y\;\sin y = \bigl(1-\cos^{2}y\bigr)\sin y.
Logo,
\int \cos^{498}y\,\sin^{3}y\,dy = \int \cos^{498}y\bigl(1-\cos^{2}y\bigr)\sin y\,dy.

Passo 3

Faça a substituição
u = \cos y, \quad du = -\sin y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \sin y\,dy = -du.
A integral torna-se
\int \cos^{498}y\bigl(1-\cos^{2}y\bigr)\sin y\,dy = -\int u^{498}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du.

Passo 4

Expanda e integre term a term:
-\int \bigl(u^{498}-u^{500}\bigr)\,du = -\Bigl(\int u^{498}\,du - \int u^{500}\,du\Bigr) = -\Bigl(\frac{u^{499}}{499} - \frac{u^{501}}{501}\Bigr) + C.
Isso dá
-\frac{u^{499}}{499} + \frac{u^{501}}{501} + C.

Passo 5

Volte à variável original, u=\cos y:
-\frac{\bigl(\cos y\bigr)^{499}}{499} +\frac{\bigl(\cos y\bigr)^{501}}{501} + C \;=\; \frac{\cos^{501}y}{501} -\frac{\cos^{499}y}{499} + C.

Resposta

\int \cos^{498}y\,\sin^{3}y\,dy = \frac{\cos^{501}y}{501} -\frac{\cos^{499}y}{499} + C.

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