Integrais trigonometricas: \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x, m e n par
\cos ^{2} x =\frac{1}{2}(1+\cos 2 x)
\sin ^{2} x =\frac{1}{2}(1-\cos 2 x)
2. \int \cos ^{4}(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos^4(2x)\,dx
O conteúdo aqui é o uso da fórmula de redução de potência para cosseno, ou seja
\cos^2\theta = \tfrac12\bigl(1+\cos(2\theta)\bigr),
aplicada repetidas vezes para expressar \cos^4(2x) em termos de somas de cossenos de múltiplos de x.

Passo 2

Começamos escrevendo
\cos^4(2x) = \bigl(\cos^2(2x)\bigr)^2.
Usando a identidade para \cos^2(2x):
\cos^2(2x) = \tfrac12\bigl(1+\cos(4x)\bigr),
obtemos
\cos^4(2x) = \frac14\bigl(1+\cos(4x)\bigr)^2.

Passo 3

Expandindo o quadrado:
(1+\cos(4x))^2 = 1 + 2\cos(4x) + \cos^2(4x).
Logo
\cos^4(2x) = \frac14\Bigl[1 + 2\cos(4x) + \cos^2(4x)\Bigr].
Agora aplicamos novamente a redução de potência em \cos^2(4x):
\cos^2(4x) = \tfrac12\bigl(1+\cos(8x)\bigr).
Substituindo:
\cos^4(2x) = \frac14\Bigl[1 + 2\cos(4x) + \tfrac12(1+\cos(8x))\Bigr] = \frac{3}{8} + \frac12\cos(4x) + \frac18\cos(8x).

Passo 4

Agora integramos termo a termo, usando \displaystyle \int \cos(kx)\,dx = \tfrac1k\sin(kx):
\int \cos^4(2x)\,dx = \int \Bigl(\tfrac{3}{8} + \tfrac12\cos(4x) + \tfrac18\cos(8x)\Bigr)\,dx = \frac{3}{8}x + \frac12\cdot\frac{1}{4}\sin(4x) + \frac18\cdot\frac{1}{8}\sin(8x) + C.
Simplificando os coeficientes:
\int \cos^4(2x)\,dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{8}\sin(4x) + \frac{1}{64}\sin(8x) + C.

Resposta

\int \cos^4(2x)\,dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{8}\sin(4x) + \frac{1}{64}\sin(8x) + C.

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