Ache a derivada da função dada.
f(x)=4 \operatorname{sec} x-2 \operatorname{cosec} x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=4\operatorname{sec} x-2\csc x.
O conteúdo aqui é derivada de funções trigonométricas elementares. Vamos usar as regras:
\displaystyle\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x e \displaystyle\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x\cot x.

Passo 2

Calculamos a derivada de 4\operatorname{sec} x aplicando a constante 4 fora da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(4\operatorname{sec} x\bigr) =4\;\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) =4\bigl(\operatorname{sec} x\tan x\bigr).

Passo 3

Agora a derivada de -2\csc x:
\frac{d}{dx}\bigl(-2\csc x\bigr) =-2\;\frac{d}{dx}(\csc x) =-2\bigl(-\csc x\cot x\bigr) =2\,\csc x\cot x.

Passo 4

Somando as duas parcelas obtidas:
f'(x)=4\operatorname{sec} x\tan x + 2\csc x\cot x.

Resposta

f'(x)=4\operatorname{sec} x\tan x + 2\csc x\cot x

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