Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas. (utilize :os testes da : razão; raiz; alternadas) \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries numéricas (razão, raiz, alternadas). Aqui os termos são positivos para n grande, logo basta testar convergência absoluta via raiz ou razão.
Passo 2
Definimos a_{n} = \sin^{n}\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\bigr). Note que |a_{n}| = a_{n}, pois 0<\sin(1/\sqrt{n})<1 para todo n\ge1. Aplicamos o teste da raiz: calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \sin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\bigr).
Passo 3
Para x\to0 temos \sin(x)\sim x. Como 1/\sqrt{n}\to0,
e o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.
Passo 4
Como há convergência absoluta, há também convergência simples. Não há sinal de alternância relevante (os termos são positivos para n grande), então a série converge absolutamente.