Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas. (utilize :os testes da : razão; raiz; alternadas)
\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \sin^{n}\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\bigr).
O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries numéricas (razão, raiz, alternadas). Aqui os termos são positivos para n grande, logo basta testar convergência absoluta via raiz ou razão.

Passo 2

Definimos a_{n} = \sin^{n}\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\bigr). Note que |a_{n}| = a_{n}, pois 0<\sin(1/\sqrt{n})<1 para todo n\ge1. Aplicamos o teste da raiz: calculamos
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}} = \lim_{n\to\infty} \sin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\bigr).

Passo 3

Para x\to0 temos \sin(x)\sim x. Como 1/\sqrt{n}\to0,
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\bigr)\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\tfrac{1}{\sqrt{n}}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;0.
Portanto
L = 0 < 1,
e o teste da raiz garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Como há convergência absoluta, há também convergência simples. Não há sinal de alternância relevante (os termos são positivos para n grande), então a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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