Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas. (utilize :os testes da : razão; raiz; alternadas)
\quad \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n \ln n}

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n\ln n}
O conteúdo envolve séries alternadas e convergência absoluta. Para investigar, vamos aplicar primeiro os testes da razão e da raiz à série de termos positivos \sum_{n=2}^\infty|a_n|, e depois usar o teste das séries alternadas (Leibniz) na série original.

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, consideremos
|a_n|=\frac{1}{n\ln n}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
L_{\text{razão}} =\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{1}{(n+1)\ln(n+1)}}{\tfrac{1}{n\ln n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n\ln n}{(n+1)\ln(n+1)}=1,ã
e pelo teste da raiz
L_{\text{raiz}} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n\ln n}} =1.
Em ambos os casos L=1, teste inconclusivo. Para decidir, recorremos ao teste da integral:
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x} =\bigl[\ln(\ln x)\bigr]_{2}^{\infty} =\infty,
logo \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n} diverge. Portanto a série não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o critério de Leibniz à série original \sum(-1)^{n+1}a_n com a_n=1/(n\ln n). Verificamos que, para n\ge2:
  1. a_n>0.
  2. a_{n+1}<a_n porque a função f(x)=1/(x\ln x) é decrescente em [2,\infty).
  3. \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n\ln n}=0.
    Pelo teste de séries alternadas de Leibniz, concluímos que a série converge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).

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