Determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas. (utilize :os testes da : razão; raiz; alternadas)
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a série
O conteúdo envolve séries alternadas e convergência absoluta. Para investigar, vamos aplicar primeiro os testes da razão e da raiz à série de termos positivos
, e depois usar o teste das séries alternadas (Leibniz) na série original.
Passo 2
Analisando a convergência absoluta, consideremos
Aplicando o teste da razão, calculamos
e pelo teste da raiz
Em ambos os casos
, teste inconclusivo. Para decidir, recorremos ao teste da integral:
logo
diverge. Portanto a série não converge absolutamente.
Passo 3
Agora aplicamos o critério de Leibniz à série original
com
. Verificamos que, para
:
-
. -
porque a função é decrescente em . -
.
Pelo teste de séries alternadas de Leibniz, concluímos que a série converge.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não converge absolutamente).