Ache a derivada da função dada
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas:
- A função é a composição de uma função polinomial (o que está entre parênteses) elevada ao quadrado.
- A variável é
. - A pergunta é: calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos lembrar uma regra-chave que usamos aqui: a regra da cadeia. Quando temos uma função
, onde
é outra função, a regra da cadeia diz que
Explicando devagar: primeiro derivamos a potência externa
, que dá
, e depois multiplicamos pelo derivado da parte interna
. É como cortar a operação em duas: diferencial da casca vezes diferencial do recheio.
Passo 3
Identificamos a parte interna:
Agora precisamos de
. Para isso usamos a regra do poder (power rule): para uma função monômio
,
E a derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade). Também a derivada de uma constante é zero. Vamos aplicar isso termo a termo.
Passo 4
Derivando cada termo de
:
- Derivada de
: a constante sai multiplicando e aplicamos o power rule a : - Derivada de
: - Derivada de
: - Derivada de
:
Somando tudo:
Passo 5
Agora aplicamos a regra da cadeia obtida no Passo 2:
Substituindo
e
:
Se quiser simplificar um pouco, podemos multiplicar o
pelo segundo fator:
logo uma forma equivalente é
Ambas as formas são corretas; a primeira deixa explícita a aplicação da regra da cadeia, a segunda distribui o
para simplificar o número de fatores.