Ache a derivada da função dada
\left.h(z)=\left(2 z^{4}-7 z^{3}+2 z-1\right)^{2} \quad \right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
h(z)=\bigl(2 z^{4}-7 z^{3}+2 z-1\bigr)^{2}.
Informações dadas:
  • A função é a composição de uma função polinomial (o que está entre parênteses) elevada ao quadrado.
  • A variável é z.
  • A pergunta é: calcular h'(z), a derivada de h em relação a z.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra-chave que usamos aqui: a regra da cadeia. Quando temos uma função h(z)=\bigl(u(z)\bigr)^{2}, onde u(z) é outra função, a regra da cadeia diz que
\frac{d}{dz}\bigl(u(z)^{2}\bigr)=2\,u(z)\cdot u'(z).
Explicando devagar: primeiro derivamos a potência externa t\mapsto t^{2}, que dá 2t, e depois multiplicamos pelo derivado da parte interna u'(z). É como cortar a operação em duas: diferencial da casca vezes diferencial do recheio.

Passo 3

Identificamos a parte interna:
u(z)=2 z^{4}-7 z^{3}+2 z-1.
Agora precisamos de u'(z). Para isso usamos a regra do poder (power rule): para uma função monômio z^{n},
\frac{d}{dz}\bigl(z^{n}\bigr)=n\,z^{n-1}.
E a derivada de uma soma é a soma das derivadas (linearidade). Também a derivada de uma constante é zero. Vamos aplicar isso termo a termo.

Passo 4

Derivando cada termo de u(z):
  • Derivada de 2 z^{4}: a constante 2 sai multiplicando e aplicamos o power rule a z^{4}: \frac{d}{dz}\bigl(2 z^{4}\bigr)=2\cdot 4 z^{3}=8 z^{3}.
  • Derivada de -7 z^{3}: \frac{d}{dz}\bigl(-7 z^{3}\bigr)=-7\cdot 3 z^{2}=-21 z^{2}.
  • Derivada de 2 z: \frac{d}{dz}\bigl(2 z\bigr)=2.
  • Derivada de -1: \frac{d}{dz}\bigl(-1\bigr)=0.
Somando tudo:
u'(z)=8 z^{3}-21 z^{2}+2.

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia obtida no Passo 2:
h'(z)=2\,u(z)\cdot u'(z).
Substituindo u(z) e u'(z):
h'(z)=2\bigl(2 z^{4}-7 z^{3}+2 z-1\bigr)\bigl(8 z^{3}-21 z^{2}+2\bigr).
Se quiser simplificar um pouco, podemos multiplicar o 2 pelo segundo fator:
2\bigl(8 z^{3}-21 z^{2}+2\bigr)=16 z^{3}-42 z^{2}+4,
logo uma forma equivalente é
h'(z)=\bigl(2 z^{4}-7 z^{3}+2 z-1\bigr)\bigl(16 z^{3}-42 z^{2}+4\bigr).
Ambas as formas são corretas; a primeira deixa explícita a aplicação da regra da cadeia, a segunda distribui o 2 para simplificar o número de fatores.

Resposta

h'(z)=2\bigl(2 z^{4}-7 z^{3}+2 z-1\bigr)\bigl(8 z^{3}-21 z^{2}+2\bigr)

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